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Prueba geométrica/simplificada para el siguiente problema de números complejos

Me pregunto si existe una prueba geométrica o una prueba corta de lo siguiente:

dejar z1,z2,z3 sean tres números complejos de módulo r . demostrar que el número r4+z1z2+z2z3+z3z1z1+z2+z3+z1z2z3 también es de módulo r .

Lo escribí todo en forma trigonométrica y tras una página de cálculos el resultado fue claro. Me pregunto si hay una prueba más elegante y corta, tal vez utilizando la geometría u otro enfoque.

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user3035 Puntos 91

Si se multiplica el denominador por ¯z1¯z2¯z3 un número complejo de módulo r3 , se obtiene ¯z1z1¯z2¯z3+¯z2z2¯z1¯z3+¯z3z3¯z2¯z1+z1¯z1z2¯z2z3¯z3 =r2¯z2¯z3+r2¯z1¯z3+r2¯z1¯z2+r6 Tenga en cuenta que esto es r2 veces el conjugado complejo del numerador, por lo que tiene una magnitud r2 veces la del numerador. Así, el denominador original tiene una magnitud 1r veces la del numerador, y por tanto la fracción original tiene magnitud r .

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