Prueba geométrica/simplificada para el siguiente problema de números complejos

Question

Me pregunto si existe una prueba geométrica o una prueba corta de lo siguiente:

dejar $z_1,z_2,z_3$ sean tres números complejos de módulo $r$ . demostrar que el número $$ \frac{r^4+z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1}{z_1+z_2+z_3+z_1z_2z_3} $$ también es de módulo $r$ .

Lo escribí todo en forma trigonométrica y tras una página de cálculos el resultado fue claro. Me pregunto si hay una prueba más elegante y corta, tal vez utilizando la geometría u otro enfoque.

Answer 1

Si se multiplica el denominador por $\bar{z_1}\bar{z_2}\bar{z_3}$ un número complejo de módulo $r^3$ , se obtiene $$\bar{z_1}z_1 \bar{z_2}\bar{z_3} + \bar{z_2}z_2 \bar{z_1}\bar{z_3} + \bar{z_3}z_3 \bar{z_2}\bar{z_1} + z_1\bar{z_1}z_2\bar{z_2}z_3\bar{z_3}$$ $$= r^2\bar{z_2}\bar{z_3} + r^2\bar{z_1}\bar{z_3} + r^2\bar{z_1}\bar{z_2} + r^6$$ Tenga en cuenta que esto es $r^2$ veces el conjugado complejo del numerador, por lo que tiene una magnitud $r^2$ veces la del numerador. Así, el denominador original tiene una magnitud ${1 \over r}$ veces la del numerador, y por tanto la fracción original tiene magnitud $r$ .