Quiero resolver esta ecuación. Me recuerda algo a la transformada de Laplace.
Estoy seguro de que debo utilizarlo para resolverlo.
$$t-2f(t) = \int_0^t(e^\tau- e^{-\tau})f(t-\tau)d\tau$$
¿Cómo hacerlo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
El lado derecho de su ecuación es una convolución de dos funciones. El Transformada de Laplace de la convolución , $f_1\star f_2$ de $f_1$ y $f_2$ es: $$\tag{1} {\cal L}\bigl[ (f_1 \star f_2)(t)\bigr]= {\cal L}\Bigl[\,\int_0^t f_1(\tau) f_2(t-\tau) \,d\tau\Bigr]=F_1(s)F_2(s),$$ donde $F_1(s)$ es la transformada de Laplace de $f_1(t)$ y $F_2(s)$ es la transformada de Laplace de $f_2(t)$ .
Tomando la transformada de Laplace de ambos lados de su ecuación se obtiene
$$ \cal L \bigl[ t-2f(t)\bigr] = \cal L \bigl[\, (e^t-e^{-t})\star f(t)\,\bigr]. $$ Por la ecuación (1): $$ \cal L [ \,t -2 f(t)\,\bigr] = \, \cal L[e^t - e^{-t}]\, \cdot \cal L\bigl[f(t)\bigr]. $$ Por linealidad de la transformada de Laplace: $$\cal L [ \,t\,] -2\cal L\bigl[ f(t)\bigr] = \bigl(\, \cal L[e^t]-\cal L[e^{-t}]\,\bigr) \cdot \cal L\bigl[f(t)\bigr].$$ Así, denotando la transformada de Laplace de $f(t)$ por $F(s)$ : $$ \tag{2}{1\over s^2}-2 F(s) =\Bigl[ { 1\over s-1}-{1\over s+1}\Bigr]F(s). $$
Resolviendo la ecuación (2) para $F(s)$ da $$ F(s)={s^2-1\over 2s^4}={1\over 2s^2}-{1\over 2s^4}. $$ Aplicando la transformada inversa de Laplace se obtiene ahora $$ f(t)={1\over2} t-{1\over12}t^3. $$
