¿Por qué existen unidades conjugadas tales que...

Question

Estoy leyendo un documento de secuencias de recurrencias y no pude entender por qué hay unidades conjugadas que se mencionan en las líneas subrayadas en la imagen. Creo que no se puede utilizar el teorema de la unidad de Dirichlet, y tiene que ver con el análisis p-ádico. Si alguien tiene una pista o una respuesta, se lo agradecería mucho.

Answer 1

Elija $a\in \Bbb Z$ tal que $|a|_v=|\alpha_i^3|_v$ para todos los lugares finitos $v$ (¿por qué se puede hacer eso?*). De ello se desprende que $\eta_i := \alpha_i^3/a$ son unidades en $\mathcal{O}_K$ .

Para ver que son conjugados (por la acción de Galois, esto no tiene nada que ver con la conjugación compleja a priori), basta con observar que el $\alpha_i$ son conjugados, por lo que también lo son sus cubos, y $a$ está fijado por la acción de Galois ya que está en $\Bbb Z$ .

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*Como se pide en el comentario, más pistas de por qué tal $a \in \Bbb Z$ existe:

Primero imagine que estábamos en $\Bbb Q$ Así que las valoraciones son las habituales $p$ -ádicos. Digamos que para un número finito de $p$ , prescribo un cierto $p$ -Valor de la adicción $\le 1$ entonces se puede encontrar un elemento $a\in \Bbb Z$ de manera que para cada $p$ , $|a|_p$ tiene el valor que prescribí? Para dar un ejemplo totalmente explícito, digamos que quiero $|a|_2 = 1/2, |a|_5 = 1/125$ y $|a|_{17} = 1/17$ (y todos los demás $|a|_p =1$ ), ¿puede encontrar tal $a \in \Bbb Z$ ?

Ahora bien, una vez conseguido esto, el único problema es que estamos en $\mathcal{O}_K$ y se nos prescriben valores para $|a|_v$ pero quiere valores para $|a|_p$ . Y lo que es peor, a priori podría haber varias valoraciones (plazas finitas) $v$ por encima de algunos primos $p$ . Pero no, la frase anterior a la que has resaltado dice algo sobre la ramificación total ... así que si para cada primo entero $p$ hay exactamente una $v$ por encima de ella en $\mathcal{O}_K$ entonces el $|a|_v$ determinar de forma completa y única $|a|_p$ ... y el método anterior sigue funcionando.