En lo que sigue asumo que los espacios son o bien Hausdorff localmente compactos (LCH) o bien polacos, que son prácticamente los únicos escenarios en los que este tipo de preguntas tienen buenas respuestas.
Por comodidad denotaré por $\pi_X : X \times Y \to X$ y $\pi_Y: X \times Y \to Y$ las dos proyecciones.
Dejemos que $\mu$ sea una medida sobre $X\times Y$ tal que $\pi_{X*} \mu = \delta_x$ para algún punto $x \in X$ . Demostraremos que de hecho $\mu$ es siempre un producto. Intuitivamente, $\mu$ debe concentrarse de alguna manera en la rebanada $\{x \} \times Y$ . Este es el caso:
Reclamación: $\mu(U) =0$ para cualquier conjunto abierto $U$ que no se cruza con $\{x \} \times Y$ .
Prueba: En efecto, $\pi_X$ es un mapa abierto por lo que $\pi_X(U)$ es abierto (por tanto medible) y tenemos $U \subset \pi_X^{-1}( \pi_X(U))$ . Por lo tanto, \begin {Ecuación} \mu (U) \leq \mu ( \pi_X ^{-1} ( \pi_X (U))) = \pi_ {X*} \mu ( \pi_X (U))= \delta_x ( \pi_X (U)). \end {Ecuación} Pero $U$ no se cruza con $\{ x \} \times Y$ así que $\pi_X(U)$ no contiene $x$ Por lo tanto $\delta_x( \pi_X(U)) =0$ . $\square$
Esto significa que para cualquier conjunto abierto en $X \times Y$ tenemos $\mu(U) = \mu ( U \cap \{ x \} \times Y)$ . Supongamos ahora que $U$ es un producto, es decir $U = A \times B$ donde $A$ y $B$ están abiertas en $X$ y $Y$ respectivamente. Entonces $U \cap \{x \} \times Y = \{x \} \times B$ si $A$ contiene $x$ y está vacía en caso contrario. Por lo tanto, tenemos \begin {Ecuación} \mu (A \times B) = \delta_x (A) \; \mu ( \{x \} \times B). \end {Ecuación}
Esto significa que en los productos de conjuntos abiertos $\mu$ coincide con la medida del producto $\delta_x \times \lambda$ , donde $\lambda$ es la medida de Borel en $Y$ dado por \begin {Ecuación} \lambda (B) = \mu ( \{x \} \times B). \end {Ecuación}
Vemos fácilmente que $\lambda$ es una medida de probabilidad ya que \begin {Ecuación} \lambda (Y) = \mu ( \{x \} \times Y) = \mu ( \pi_X ^{-1}\{ x\} ) = \delta_x ( \{x \}) =1. \end {Ecuación} En particular, dado que el producto de $\sigma$ -medidas finitas es única, esto implica que $\mu = \delta_x \times \lambda$ como medidas sobre $B(X) \times B(Y)$ (donde $B(\cdot)$ denota el Borel $\sigma$ -álgebra).
Si trabajamos con espacios polacos ya hemos terminado, ya que $B(X \times Y) = B(X) \times B(Y)$ y $\lambda$ es automáticamente Radon (ya que es finito). Si trabajamos con espacios LCH queremos demostrar algo más: que $\lambda$ es Radon y que $\mu$ es igual al producto $\delta_x \times \lambda$ en el conjunto de $B( X \times Y)$ , donde ahora $\delta_x \times \lambda$ se interpreta como el Radón producto de las medidas (es la única extensión del producto habitual sobre $B(X) \times B(Y)$ a una medida de Radon en $B(X \times Y)$ ).
Comprobemos que $\lambda$ es una medida de probabilidad de Radon en $Y$ . $\lambda$ es igual a $f_* \mu|_{\{x \} \times Y}$ , donde $f: \{x \} \times Y \to Y$ es el homeomorfismo obvio. Por lo tanto, basta con demostrar que $\mu|_{\{x \} \times Y}$ es Radon. Es un hecho general que la restricción de un $\sigma$ -La medida de Radon definida a un subespacio de Borel es siempre Radon. Dado que $\mu$ es finito, obtenemos que su restricción a $\{x \} \times Y$ es el radón.
Por lo tanto, $\lambda$ es una medida de probabilidad de Radon en $Y$ . Por lo tanto, podemos formar el producto de Radon $\delta_x \times \lambda$ en $B(X \times Y)$ como se ha explicado anteriormente. Dado que $\mu$ es Radon y concuerda con $\delta_x \times \lambda$ en los productos, por la unicidad del producto de Radon debemos tener $\mu = \delta_x \times \lambda$ .
