Curvas polinómicas$F(x,y)$ que dan lugar a bucles

Question

Sé que el cúbicos curva definida por $F(x,y) = y^2 - x^3 - x^2$ da lugar a un bucle:

Hay una forma de comprobar si un cúbicos curva definida por $F(x,y) = y^2 + ay + bx^3 + cx^2 + dx + e$ exhibe un bucle? Puede haber más de un bucle?

¿Qué sucede cuando permitimos que mezclan términos, es decir, $F(x,y) = y^2 + ay + bx^3 + cx^2 + dx + e + fxy$ o, incluso, $F(x,y) = y^2 + ay + bx^3 + cx^2 + dx + e + fxy + gx^2y + hxy^2$?

Si nos permiten polinomios de más de $x,y$ ¿cómo funciona el máximo número de ciclos depende de el grado(s) del polinomio?

Por último: ¿Cómo se podía clasificar las curvas de acuerdo a su "estructura de bucle", que considera el número de bucles, pero posiblemente distingue entre estas curvas, todos los cuales tienen dos bucles:

Y: ¿Cómo se podría sistemáticamente la construcción de un polinomio que da lugar a una curva con una determinada estructura de bucle, por ejemplo, uno de los tres de arriba.

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(Hacer mis etiquetas de sentido? Cuáles son los mejores?)

Answer 1

En un punto de cruce, $dy/dx=F_x/F_y$ no se define por lo $F_x=F_y=0$. Un ejemplo con $mn$ puntos de cruce es $F(x,y)=g(x)h(y)$ donde $g(x)$ ha $m$ ceros y $h(y)$ ha $n$ ceros.
Un ejemplo de su medio de croquis es $$y^2 = -(x+1)^2x^2(x-1)$$ que ha cruces en $(-1,0)$ e $(0,0)$.

Answer 2

Esto es lo que accidentalmente encontré en Marcel Bergers Geometry Revealed (p. 287). Se trata de curvas cerradas (mientras tenía en mente curvas abiertas):