$a-b$ divide $a^n-b^n$

Question

Quiero demostrar que para enteros $a, b$ siempre es cierto que $a-b$ divide a $a^n-b^n$. Quiero hacer esto por inducción. Para nuestro caso base $n=1$, se cumple que $a-b|a-b$. Nuestra hipótesis sería que para algún $k$ sabemos que $a-b|a^k-b^k$ o equivalente para algún entero l: $$a^k-b^k =l (a-b) $$ ¿Cómo usaría esto para demostrar que: $$a^{k+1}-b^{k+1} =l' (a-b) $$

Estaba pensando en usar algún factorización ingeniosa o algo como el teorema del binomio, pero no estoy seguro. ¿Podría alguien darme una pequeña pista?

Answer 1

Puedes usar $$a^{k+1}-b^{k+1}=a(a^{k}-b^{k})+b^{k}(a-b).$$

Answer 2

Agrega y resta $ab^n$ de $a^{n+1} - b^{n+1}$.

Nota que, $aa^{n} - ab^n + ab^n - bb^{n}$ = $a(a^n - b^n) + (a-b)b^n$. Ahora puedes ver fácilmente que este término es divisible por $(a-b)$.

Answer 3

Pista:

Intenta usar el algoritmo de división de Euclides para dividir el polinomio $$X^k-1$$ por $X-1$. ¿Ves un patrón para diferentes $k$'s?

Si es así, usa la inducción para demostrar tu hipótesis. Obtendrás algo de la forma $$X^k-1 = (X-1)Q(X)$$ para algún polinomio $Q(X)$. Ahora, deja $X = \frac{a}{b}, b\neq 0$.

Answer 4

La inducción fuerte puede ser más natural aquí.

El caso base es $n=1,2$. Esto es cierto ya que $a-b|a-b$ y $a-b|a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

Supongamos que es cierto para $n=1,2,..k$. Entonces, $$a^{k+1}-b^{k+1}=(a+b)(a^k-b^k)-ab(a^{k-1}-b^{k-1})$$