Sí, esto es fácil de hacer, y lo han hecho ya.
Por cierto, realmente creo que usted debe buscar en la primera sección de Sacos libro, que entra en detalles acerca computable de los números ordinales y que creo que va a aclarar muchas de estas cuestiones.
Su conjetura es ya una perfección formal de la definición:
El mínimo número natural $n$ tales que existe una $n$-estado de la máquina de Turing que calcula cualquier ordinal $\alpha$ ejemplo de que la prueba teórico-ordinal de $T$ es [menor] $\alpha$.
(Una vez que arreglar un significado preciso de "la prueba de la teoría de la ordinal," por supuesto.) Así que no sé qué otra formalidad que usted desea.
He sustituido "está incrustada en" con "menor que" desde que el anterior sugiere que la integración debe ser computable, que no estoy seguro de que usted desea; pienso que el lenguaje que he utilizado es menos sugerente.
El punto clave es que la frase "calcula un ordinal" es perfectamente precisa: nos referimos a que la máquina de Turing $\Phi$ en cuestión se calcula la función característica de una relación binaria $R$ a $\mathbb{N}$ tal que $(\mathbb{N}; R)$ es un buen orden. No hay supuestos adicionales en la máquina de Turing que deben hacerse para que este sentido (aunque, por supuesto, no cada máquina de Turing no calcular un ordinal, y el conjunto de índices de máquinas de Turing computación ordinales es muy complicado$^1$).
Dicho esto, hay muchas variaciones que usted podría considerar la posibilidad de:
Usted podría reemplazar "menor que" con "igual a". Que esto es diferente, en general, no debería ser sorprendente: pensar acerca de cómo (en el contexto de $\mathbb{N}$) la Kolmogorove complejidad de $a$ puede ser más grande que la de $b$, incluso si $a<b$.
Usted puede centrarse en los índices frente a los estados, es decir, " ... de tal manera que el $n$th computables a bien ordenar es ..."
Usted puede pedir una incrustación de la prueba de la teoría ordinal en $\alpha$ a ser "eficaces" en algún sentido. E. g. se podría arreglar un computable copia $S$ de la prueba de la teoría ordinal $\theta$ de $T$ (es decir, $S$ es una computable binario relación en $\mathbb{N}$ tal que $(\mathbb{N}; S)$ es isomorfo a la prueba de la teoría ordinal de $T$)y, a continuación, busque un par de máquinas de Turing, uno de los cuales se calcula una copia de algunos ordinal $\ge\theta$ y el otro de los cuales se calcula una incrustación de $S$ en esa copia.
Y así sucesivamente.
Sin embargo, todos estos enfoques meramente "cambiar el nombre de" la prueba de la teoría ordinal; a pesar de que los números naturales son más sencillos que los números ordinales, que no está todo más sencillo (en este contexto) que computable ordinales, por lo que no está claro que este cambio de las ganancias de nada.
EDIT: Esta parte es en respuesta a Andrés comentarios de abajo.
Vale la pena señalar que la afirmación de "la prueba de la teoría ordinal de $T$ mide la fuerza de $T$" tiene aspectos problemáticos.
(Por simplicidad, vamos a definir la prueba de la teoría ordinal de $T$, $pto(T)$, como el menor ordinal no tener "$T$-comprobable" computable copia; que es, al menos ordinal $\alpha$ tal que no es $e$ tal que $(i)$ la $e$th máquina de Turing se calcula una copia de $\alpha$ e $(ii)$ $T$ demuestra que el $e$th máquina de Turing se calcula un buen orden. Mientras $T$ es $\Pi^1_1$-sonido, recepción implica que $pto(T)<\omega_1^{CK}$; por el contrario, no es difícil mostrar que si $T$ no $\Pi^1_1$-sonido y, a continuación, $pto(T)=\omega_1^{CK}$.)
La cuestión es la siguiente:
¿Qué información de $pto(T)$ realmente nos dan?
Recuerde que la prueba de la teoría ordinal de la vida en un contexto más amplio de la prueba teórica contexto; "la medición de la intensidad de $T$" es, generalmente, significa mucho más que simplemente tener algo de "concreto" descripción de $pto(T)$ (lo que significa; tenga en cuenta que podemos trivialmente cocinar una computable copia de $pto(T)$ - es decir, $$\sum_{\mbox{$T\vdash$ "$\Phi_e$ is a well-ordering"}}\Phi_e$$ - lo "concreto" aquí es muy cargado palabra!). Por ejemplo, queremos:
Una buena comprensión de las funciones computables que $T$ demuestra total (por ejemplo, para la RCA$_0$ estas son exactamente las funciones recursivas primitivas).
Un sistema natural de notaciones que conduce a $pto(T)$ (esto es discutible, doblado en la palabra "concreto" más arriba), junto con una conexión entre estas anotaciones y pruebas de $T$ (este es el nuevo bits).
Algunos fijos notación para $pto(T)$ junto con un comprobante de una muy débil de la teoría de que el fundamento de la orden de pedido correspondiente a esta notación implica la consistencia de $T$ (esto está estrechamente relacionado con los anteriores puntos, y realmente debería salir de ella directamente).
Y probablemente un montón de otras cosas que la prueba de los teóricos de saber, pero yo no.
Todo esto va más allá de encontrar una "descripción concreta" para $pto(T)$. (Por ejemplo, ¿cómo podemos averiguar nada acerca de qué funciones computables PA demuestra total solo por ser dicho del aire que $pto(PA)=\epsilon_0$?) Así que tenemos que ser cuidadosos: especialmente cuando se habla de fuertes teorías (como ZF), no queremos asumir de la mano que $pto(T)$ es necesariamente la medición tanto como queremos.
Dicho esto, yo diría que $pto(T)$ mide la fuerza de $T$ (al menos hasta cierto punto), y en esto me puede estar en desacuerdo con Andrés a continuación. Pero es importante (como se señaló) para hacer que este problema claro; $pto(T)$ no es una caja mágica que nos dice todo acerca de la fuerza de $T$, y se divorcian de estos ambiental supuestos pueden hacer (y, por extensión, a preguntas como esta) menos misterioso.
$^1$Me he ligado a Kleene s $\mathcal{O}$ aquí; esto no es literalmente el conjunto de índices de máquinas de Turing computación ordinales, pero en realidad es "equivalente" a ese conjunto (precisamente: los dos conjuntos son Turing equivalente, de hecho, $1$-equivalente). La teoría general de Kleene de la $\mathcal{O}$, y computable de los números ordinales en general, es desarrollado en la primera parte de Sacos libro.
