Sea $A = 4444^{4444}$ ;
Entonces la suma de los dígitos de $A = B$ ;
Entonces la suma de los dígitos de $B = C$ ;
Entonces la suma de los dígitos de $C = D$ ;
Encuentre $D$ .
¿Cuál debería ser el planteamiento en este caso?
El planteamiento consiste en utilizar el hecho de que $4444 \equiv 7 \pmod 9,$ para que $4444^3 \equiv 1 \pmod 9,$ y luego obtener $4444^{4444} \equiv 7 \pmod 9$ .
A continuación, utilice el hecho de que para cualquier número entero $N$ la suma de los dígitos de N es equivalente a $N \pmod 9$ .
Por último, utilice registros en base 10 para obtener un límite en el tamaño de $A$ Por lo tanto $B$ etc.
La respuesta es 7, si no recuerdo mal.
@OldJohn: $4444^{4444}\pmod 9$ no da la suma de los dígitos de $4444^{4444}$ pero la suma repetida, por ejemplo $4^4\pmod 9=256\equiv 4\pmod 9$ pero dígito suma de $256=13$ .
Es bien sabido que, debido $10 \equiv 1 \bmod 9$ y, por lo tanto $10^k = 1 \bmod 9$ para todos $k>0$ tenemos que la suma de los dígitos de $n$ , $S(n) \equiv n \bmod 9$ .
Entonces, ¿qué es $4444^{4444} \bmod 9$ ? La equivalencia anterior nos da que $4444 \equiv 7 \bmod 9$ .
Ahora necesitamos el pedir de $7$ modulo $9$ el más pequeño $s$ tal que $7^s \equiv 1 \bmod 9$ . Esto es fácil de encontrar mediante el examen: $7^2 \equiv 4 \bmod 9$ y así $7^3 \equiv 28 \equiv 1 \bmod 9$ .
Así que $4444^{4444} \equiv 7^{4444} \equiv 7 \cdot (7^3)^{1481} \equiv 7 \ \bmod 9$ y la misma equivalencia es válida para $B,C$ et $D$ .
¿Cuánto mide aproximadamente $A$ ? Desde $\log_{10}4444 \approx 3.64777$ sabemos que $\log_{10}A \approx 16210.7$ es decir $A$ tiene $16211$ dígitos. Esto nos da que $B \le 16211\times 9 = 145899$ . Así que si $B>100000$ los dos primeros dígitos no suman más de $5$ lo que significa que $C \le 45$ (siendo ese máximo cuando $B=99999$ ).
Por último, podemos utilizar nuestro conocimiento de que $C \equiv 7 \bmod 9$ y observe que $C$ debe ser uno de los valores $\{7,16,25,34,43\}$ y por tanto que $S(C) = \fbox{D = 7}$ .
Pensamientos adicionales:
Obtenemos exactamente la misma respuesta, $D=7$ para $A=55555^{55555}$ . Impresionantemente, una ligera variación del mismo proceso también funciona para obtener $D=9$ para el caso $A=999999999^{999999999}$ (nueve nueves).
El siguiente enlace incluye el análisis completo; quizá le interese verlo http://www.artofproblemsolving.com/Wiki/index.php/1975_IMO_Problems/Problem_4
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Lo que preguntas se llama simplemente suma repetida de dígitos(no hace falta escribirlo como suma de suma de suma de dígitos,es confuso).
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Lo siento señor Avatar. Lo he editado.
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@avatar: No, "suma de suma de suma de dígitos" es diferente, y presumiblemente lo que el OP quiere, ya que dice "D" específicamente, no "repetir el proceso...". En cualquier caso, "suma de suma de suma de dígitos" es un problema más interesante (implica estimar el tamaño, etc.) que la suma repetida.
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Entiendo lo que dices(error mio), lo edito.
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Cabe mencionar que este problema aparece en Problemas para matemáticos jóvenes y mayores por Halmos.