Derivada covariante en QCD: ¿Cómo actúa sobre los gluones?

Question

Sea la derivada covariante $$D_\mu = \partial_\mu + \text ig\ A_\mu^a t^a,\quad a=1,\ldots,8$$ donde $g$ es el acoplamiento QCD desnudo, $A_\mu^a$ son los ocho campos de gluones y $t^a=\tfrac{1}{2}\lambda^a$ son los generadores de $SU(3)$ . Estoy tratando de averiguar cómo la derivada covariante actúa de manera diferente en quarks y gluones.

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Para quarks los generadores actuarán en su representación fundamental, como $3\times 3$ matrices proporcionales a las matrices de Gell-Mann que actúan sobre un quark con tres componentes de color $i$ : $$\begin{align}D_{\mu,ij} q_j &= \partial_\mu \delta_{ij} q_j + \text ig\ A_\mu^a (t^a)_{ij}\ q_j \\&=\partial_\mu q_i + \text ig\ A_\mu^a (t^a)_{ij}\ q_j \end{align}$$

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Para gluones los generadores deben actuar a través de su representación adyunta, ya que los propios gluones forman parte del álgebra (están construidos por la representación $t^a$ ). La representación adjunta viene dada por $SU(3)$ constantes de estructura, $(t^a)_{bc} = -\text i\ f_{abc}$ . Un generador $t^a$ en la representación adjunta actúa sobre otro elemento del álgebra de Lie $t^b$ como $[t^a,t^b]$ . $$ \begin{align}D_{\mu,ab}\ A_\nu &= D_{\mu,ab}\ A_\nu^c t^c\\&= \partial_\mu \delta_{ab} A_\nu^c t^c + \text ig\ A_\mu^dA_\nu^c\ [t^d,t^c]_{ab}\quad ?\end{align}$$

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Pero entonces si quiero calcular el tensor de intensidad de campo del gluón no obtengo el resultado correcto: $$ \begin{align} \frac{1}{\text ig}[D_\mu,D_\nu]X &= \frac{1}{\text ig}(\partial_\mu + \text ig A_\mu)(\partial_\nu+\text ig A_\nu)X-[\mu\leftrightarrow\nu]\\ &= \frac{1}{\text ig}\partial_\mu \partial_\nu X+\partial_\mu(A_\nu X)+ A_\mu \partial_\nu X+ \text ig A_\mu (A_\nu X)-[\mu\leftrightarrow\nu]\\ &= \frac{1}{\text ig}\partial_\mu\partial_\nu X + \partial_\mu A_\nu X + A_\nu \partial_\mu X+A_\mu \partial_\nu X\color{red}{+\text ig X [A_\mu,A_\nu]}+\text ig A_\mu A_\nu X\\ &\quad -\frac{1}{\text ig}\partial_\nu\partial_\mu X - \partial_\nu A_\mu X - A_\mu \partial_\nu X-A_\nu \partial_\mu X\color{red}{-\text ig X [A_\nu,A_\mu]}-\text ig A_\nu A_\mu X\\ &= (\partial_\mu A_\nu)X-(\partial_\nu A_\mu)X+\color{red}3\text ig [A_\mu,A_\nu]X \end{align} $$

El factor 3 debería ser 1. Los términos en rojo no deberían estar ahí (por si alguien encuentra esta pregunta), ¡gracias a @Toffomat!

¿Cómo actúa la derivada covariante sobre un campo de gluones $A_\mu = A_\mu^a\ t^a$ ? ¿Dónde está el error en mis cálculos?

Answer 1

En efecto $\left[D_\mu,D_\nu\right]$ no es lo mismo que $D_\mu A_\nu-D_\nu A_\mu$ . Al final, esto se debe a que $D_\mu A_\nu$ no es algo bien definido: $D_\mu$ mapea objetos covariantes a objetos covariantes (en la misma representación), y el potencial gauge no es covariante (debido a la pieza no homogénea en la transformación).

Lo que hay que hacer para calcular la intensidad de campo es considerar el conmutador actuando sobre algún objeto arbitrario $X$ , $$\left[D_\mu,D_\nu\right] X\,.$$ Cuando se expande esto en derivadas y campos gauge, se ve que el resultado no tiene derivadas actuando sobre $X$ (tanto el $\partial \partial X$ y el $\partial A\partial X$ contribuciones se cancelan), y te quedas con algo que multiplica $X$ y eso es (proporcional a) la intensidad de campo.

Actualización de la pregunta actualizada: Tu error en la última ecuación está en el tercer signo de igualdad. Expandes (de la segunda a la tercera línea) $$\text{i} g A_\mu\left(A_\nu X\right)\to\text{i}gX\left[A_\mu,A_\nu\right] + \text{i} g A_\mu X A_\nu\,,$$ mientras que en realidad no hay nada que ampliar, y las órdenes tampoco coinciden (si, por ejemplo, tomas $\mu=\nu$ ). (Observe también que cambia erróneamente el orden en el segundo término, donde $X\partial_\mu A_\nu$ debe ser $\partial_\mu A_\nu X$ .)

Quizá lo que te confunde es la "acción por conmutador". Eso es cierto en el sentido de que las constantes de estructura forman básicamente la representación adjunta, pero en realidad es más instructivo tomar representaciones matriciales reales. Entonces queda claro que cuando $X$ está en alguna representación (piensa en un vector de columnas), $A_\nu X$ está en la misma representación (piensa en matriz por vector) , y $A_\mu A_\nu X$ está de nuevo en la misma representación (matriz $\times$ matriz $\times$ vector), y no se requieren conmutadores.