Evaluación de los

Question

Estoy teniendo problemas tratando de evaluar la integral : $$\frac{1}{2\pi i }\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}\frac{\log(s)^{n}\log(1-s)^{m}}{s(1-s)}ds$$ Donde $0<c<1$ e $n,m$ son enteros positivos. El integrando tiene dos cortes de ramas : $(-\infty,0]$ e $[1,\infty)$, por lo que el desplazamiento de la línea de la integración no funciona. Traté de doblar la línea de integración de manera que se encuentra justo por encima y justo debajo de uno de los cortes de ramas, pero que no funciona bien, o me he equivocado. cualquier idea es apreciado.

EDITAR :

Después de un par de transformaciones, he obtenido : $$\frac{1}{2\pi i }\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}\frac{\log(s)^{n}\log(1-s)^{m}}{s(1-s)}ds=$$ $$\frac{1}{2\pi i }\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\log(is)^{n}\log(1-is)^{m}}{s(1-is)}ds=\Re\left[\frac{1}{\pi i }\int_{-\infty}^{\infty}\frac{y ^{n}\log(1-e^{y})^{m}}{1-e^{y}}dy \right ]$$ Aún así, no tengo idea sobre cómo evaluar la integral !!

Answer 1

Su integral se puede expresar en simples combinaciones de valores zeta. Deje $$I_{n,m} = \frac{1}{2\pi i }\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}\frac{\ln(s)^{n}\ln(1-s)^{m}}{s(1-s)}ds$$ luego de contorno da $$\begin{aligned} I_{n,m} &= \frac{{ - 1}}{{2\pi i}}\int_{ - \infty }^0 {\frac{{{{\ln }^m}(1 - s)}}{{s(1 - s)}}\left[ {{{(\ln \left| s \right| + \pi i)}^n} - {{(\ln \left| s \right| - \pi i)}^n}} \right]ds} \\ &= \frac{1}{{2\pi i}}\int_0^\infty {\frac{{{{\ln }^m}(1 + s)}}{{s(1 + s)}}\left[ {{{(\ln s + \pi i)}^n} - {{(\ln s - \pi i)}^n}} \right]ds} \end{aligned}$$

Thus it suffices to evaluate $$J_{n,m} = \int_0^\infty {\frac{{{{\ln }^n}s{{\ln }^m}(1 + s)}}{{s(1 + s)}}ds} $$ esto es fácil, simplemente se nota $$\int_0^\infty {{s^{a - 1}}{{(1 + s)}^{b - 1}}ds} = B(a,1 - a - b) = \frac{{\Gamma (a)\Gamma (1 - a - b)}}{{\Gamma (1 - b)}}$$ por lo $J_{n,m}$ puede ser calculado a través de la diferenciación de $a,b$.

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El siguiente Mathematica código calcula el $I_{n,m}$, con las mismas notaciones como el anterior

int[n0_, m0_] := Module[{n = n0, m = m0}, f[a_, b_] := Gamma[a]*Gamma[1 - a - b]/Gamma[1 - b]; 
    j[n_, m_] := D[Normal[Series[f[a, b], {a, 0, n}, {b, 0, m}]], {a, n}, {b, m}] 
    /. {a -> 0, b -> 0} // FullSimplify; 
    coefflist[n_] := CoefficientList[(x + Pi*I)^n - (x - Pi*I)^n, x]; 
    For[i = 0; sum = 0, i < n, i++,
    sum = If[coefflist[n][[i + 1]] == 0, sum, sum + j[i, m]*coefflist[n][[i + 1]]]];
FullSimplify[sum/(2 Pi*I)]]

Por ejemplo, $$I_{2,3} = 2 \pi ^2 \zeta (3)+24 \zeta (5) \qquad I_{1,4}=I_{4,1}=24\zeta(5)$$$$I_{4,2} = 24 \zeta (3)^2+\frac{68 \pi ^6}{315} \qquad I_{3,3} = 36 \zeta (3)^2+\frac{107 \pi ^6}{420}$$ $$I_{4,4} = 96 \pi ^2 \zeta (3)^2+2304 \zeta (5) \zeta (3)+\frac{3701 \pi ^8}{3150}$$