Es la siguiente prueba de la correcta?
La proposición. Deje $X$ ser un conjunto infinito y $\tau$ ser una topología en $X$. Si cada subconjunto infinito de $X$ es de $\tau$, demuestran que, a $\tau$ es una topología discreta.
Prueba. Suponga $x\in X$, desde el $X$ es infinito, no hay duda de que debe existir una $a_1\in X$ tal que $a_1\not\in\{x\}$, y por el mismo razonamiento a $b_1\in X$ tal que $b_1\not\in\{x,a_1\}$, continuando de esta manera, podemos afirmar que no existe $a_1,b_1,a_2,b_2,\dots,a_k,b_k,\dots$ en $X$ tales que $$ \begin{cases} a_1\not\in\{x\}\\ b_1\not\in\{x\}\cup\{a_1\}\\ a_2\not\in\{x\}\cup\{a_1\}\cup\{b_1\}\\ b_2\not\in\{x\}\cup\{a_1,a_2\}\cup\{b_1\}\\ \vdots \\ a_k\not\in\{x\}\cup\{a_1,a_2\dots,a_{k-1}\}\cup\{b_1,b_2,\dots,b_{k-1}\}\\ b_k\not\in\{x\}\cup\{a_1,a_2\dots,a_{k-1},a_{k}\}\cup\{b_1,b_2,\dots,b_{k-1}\} \end{casos} $$ Ahora defina $A = \bigcup_{r=1}^{\infty}\{a_r\}\cup\{x\}$ e $B = \bigcup_{r=1}^{\infty}\{b_r\}\cup\{x\}$, a partir de hipótesis de $A,B\in\tau$ y desde $\tau$ es una topología en $X$, tenemos $A\cap B\in\tau$ , pero a partir de la anterior construcción, es evidente que $\bigcup_{r=1}^{\infty}\{a_r\}\cap \bigcup_{r=1}^{\infty}\{b_r\} = \varnothing$, en consecuencia, $A\cap B = \{x\}$. En resumen todos los $\{x\}\in\tau,\forall x\in X$, apelando a la proposición $1.1.9$
$\blacksquare$
Nota: $1.1.9$ es el resultado de que cualquier topología $\tau$ sobre un conjunto $X$ contiene $\{x\}\in\tau,\forall x\in X$, es un discreto topología.
