Encontrar los coeficientes de los polinomios

Question

Encuentre $p$ y $q$ , si $x^3-2x^2+p+q$ se divide por $x^2+x-2$ . He encontrado $x =-2$ y $x=1$ sin embargo cuando se coloca en el polinomio soy incapaz de encontrar un valor para $p$ y $q$ .

Answer 1

Una pista: Si $x-a$ dividir $P(x)$ entonces $P(a)=0$ Así que

desde $x^2+x-2=(x+2)(x-1)$ dividir $P(x)= x^3-2x^2+p+q$ tenemos $P(-2)=0$ y $P(1)=0$

Answer 2

O puedes utilizar las fórmulas de Vieta: Encuentras $x_1=-2$ y $x_2=1$ por lo que, como $$x_1+x_2+x_3 = 2\implies x_3= 3$$

así que $$p = x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=...\;\;\;{\rm and}\;\;\;q =-x_1x_2x_3 = 6$$

Answer 3

Pista: Multiplicar hacia fuera $(x^2+x-2)(x-a)=x^3-2x^2+px+q$ y comparar los coeficientes.

Para el polinomio $x^3-2x^2+px+q$ la comparación da una solución, a saber $a=3$ , $p=-5$ y $q=6$ . Para el polinomio anterior (con error tipográfico) no hay solución.

Answer 4

Etiqueta de precálculo, gente.

Asumiendo la corrección de la errata, puedes simplemente hacer la división larga directamente. Tal vez estés aprendiendo la división sintética, que probablemente sea más fácil, pero no lo he hecho desde la escuela secundaria, así que olvido los detalles.

              x   -    3
            _____________________
x^2 + x - 2 | x^3 - 2x^2 + px + q
              x^3 +  x^2 - 2x
            - _______________
                   -3x^2 + (2+p)x + q
                   -3x^2 - 3x     + 6
                 - __________________
                           (5+p)x + (q-6)

Queremos que esa expresión final en la parte inferior sea igual a $0$ para que no quede ningún resto.

Answer 5

También se puede reducir $x^3 - 2 x^2 + p x + q$ modulo $x^2 + x - 2$ y luego exigir que el polinomio resultante sea idéntico a cero. Esto significa entonces que todos los coeficientes de ese polinomio son cero, y eso da la solución. Módulo $q(x) = x^2 + x - 2$ que tenemos:

$$x^2 \bmod q(x)= -x + 2$$

y

$$x^3 \bmod q(x)= \left(-x^2 + 2 x\right) \bmod q(x) = 3 x-2 $$

Por lo tanto:

$\left(x^3 - 2 x^2 + p x + q\right) \bmod q(x) = (5+p) x + q-6$

lo que implica que $p = -5$ y $q = 6$ .