¿Es el modelo estándar para el lenguaje de la teoría de números elemental equivalente a uno con un elemento no estándar?

Question

En la página 89, en Un Amistoso Introducción a la Lógica Matemática, el autor escribe que el modelo estándar $\mathfrak{N}$ para $\mathcal{L}_{NT}$ es elementarily equivalente a un modelo de $\mathfrak{A}$ que tiene un elemento del universo $c$ que es mayor que todos los otros números.

Soy nuevo en la lógica matemática, pero entiendo que elementarily medios equivalentes las dos estructuras tienen el mismo conjunto de verdaderas penas. Sin embargo, a mí me parece que la siguiente frase es verdadera en $\mathfrak{A}$ pero no en $\mathfrak{N}$. Lo que me estoy perdiendo?

$\exists x\ \forall y\ (x=y \vee y<x)$

Answer 1

En las notas, no veo la afirmación de que $c$ es mayor que todos los otros números de $\mathfrak{A}$. El número de $c$ en $\mathfrak{A}$ es mayor que $0$, $S(0)$, $S(S(0))$, etc., - lo $c$ es mayor que cada elemento de a$\mathfrak{N}$. Pero habrá otros elementos de $\mathfrak{A}$ que son mayores de $c$. No todo elemento de a$\mathfrak{A}$ es de la forma $S^n(0)$ para algunos $n \in \mathfrak{N}$.