Deje $V$ ser finito dimensional simple $G$-representación (más de $\mathbb{C}$) para un grupo finito $G$. Deje $R$ ser el regular la representación de $G$.
Hay un $G$-representación $W$ tal que $V \otimes W \cong R$?
Respuesta
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De acuerdo a mi en lugar de aficionado (por lo que sería bueno si alguien comprueba de forma independiente) BRECHA de cálculos, esto es falso para $G=SL(2,5)$ e $V$ cualquiera de las $4$-dimensiones de representaciones irreducibles.
En realidad, es falsa. No hay representaciones de $W_1$ e $W_2$ , de modo que $$R\oplus (V\otimes W_1)\cong V\otimes W_2,$$ así que si $V$ tiene carácter $\psi$ y el irreductible de caracteres $\chi_1,\dots,\chi_n$, entonces el carácter regular no es un número entero combinación lineal de $\psi\otimes\chi_1,\dots,\psi\otimes\chi_n$.
El $SL(2,5)$ ejemplo es probablemente lo suficientemente pequeño como para verificar la mano, pero se puede hacer en la BRECHA de usar sólo las funciones integradas, con el no-trivial de programación. GAP tiene funciones para hacer las cosas, como la construcción de tensor de productos de caracteres y el cálculo de escalar productos de caracteres, por lo que es fácil construir la matriz de $A=(a_{ij})$ tales que $$\psi\otimes\chi_i=a_{i1}\chi_1+\dots+a_{in}\chi_n$$ para cada carácter irreductible $\chi_i$. A continuación, permanece a comprobar, por $b=(b_i)$ el vector fila tal que el carácter regular es $$b_1\chi_1+\dots+b_n\chi_n,$$ si $b$ es un número entero combinación lineal de las filas de $A$, o en otras palabras, si la ecuación de matriz $b=xA$ tiene una solución $x$ que es un vector de enteros. Por suerte espacio tiene una función de $\text{SolutionIntMat}$ que hace esto.
No sé si hay una manera fácil de usar sólo las funciones integradas para comprobar si hay una solución de $b=xA$ que es un valor no negativo entero vector, por lo que este método puede ser que falten algunos de los más pequeños ejemplos que responden a la pregunta original.
