¿Cómo influye el término medio de un% cuadrático$ax^2 + bx + c$ en la gráfica de$y = x^2$?

Question

Cada parábola representada por la ecuación de $y = ax^2 + bx + c$ puede ser obtenida por el estiramiento y la traducción de la gráfica de $y = x^2$.

Por lo tanto:

El signo del coeficiente inicial, $-a$ o $a$, determina si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo es decir

El coeficiente inicial, $a$, también determina la cantidad de vertical de estiramiento o compresión de $y = x^2$ es decir

El término constante, $c$, determina la traslación vertical de $y = x^2$ es decir

Ahora para $bx$. Inicialmente, pensé que iba a determinar la cantidad de horizontal de traducción, ya que el término constante, $c$, que se contabilizan para la traslación vertical, pero cuando he conectado en algunos cuadráticas la gráfica de $y = x^2$ traducido tanto horizontal como verticalmente. Aquí están las gráficas:

Viendo como el medio plazo, $bx$, no sólo horizontalmente traducir, ¿cómo se puede describir su efecto en $y=x^2$? Sería más preciso decir que tanto en el plano horizontal y verticalmente traslada la gráfica de $y = x^2$?

Answer 1

Sí, se realizará una traducción horizontal y vertical, y puedes ver cuánto completando el cuadrado. Por ejemplo, $$x^2+3x=\left(x+\frac32\right)^2-\frac94

Compara eso con tu gráfica de $y=x^2+3x$ . Por supuesto, si el coeficiente del término cuadrático no es $1$, las cosas se vuelven un poco más complicadas, pero siempre puedes ver cómo se verá la gráfica al completar el cuadrado.

Answer 2

Mira $2$ sistemas de coordenadas Cartesianas $X,Y$ e $X',Y'$.

Origen de $X',Y$' está situado en la $(x_0,y_0)$, $X'$-eje paralelo $X$-eje , $Y'$-eje paralelo $Y$-eje(una traducción),es decir,

$x= x_0+x'$; $y= y_0+ y'$.

Configurar su normal parábola en la $X',Y'$ sistema de coordenadas.

$y'=ax'^2$, vértice en $(0',0')$.

Volver al original $x,y$ coordenadas .

$y-y_0= a(x-x_0)^2$ ;

$y=ax^2 -2(ax_0)x +ax_0^2$.

Comparar con $y =ax^2+bc +c$:

$b=-2ax_0$.

Se puede interpretar?