¿Qué son los derivados superiores?

Question

De La Wikipedia:

Más de derivados también pueden ser definidos para funciones de varias variables, estudió en el cálculo multivariable. En este caso, en lugar de aplicar repetidamente la derivada, en varias ocasiones se aplica derivadas parciales con respecto a diferentes variables. Por ejemplo, las derivadas parciales de segundo orden de una función escalar de n variables se pueden organizar en una matriz de n por n, la matriz Hessiana. Uno de los puntos sutiles es que el mayor de los derivados no son intrínsecamente definido, y dependen de la elección de las coordenadas en una complicada de la moda (en particular, la matriz Hessiana de una función no es un tensor). Sin embargo, la mayor de sus derivados tienen importantes aplicaciones para el análisis de extremos locales de una función en sus puntos críticos. Para una avanzada aplicación de este análisis a la topología de colectores, ver Morse teoría.

En el cálculo multivariable, me dijeron que el aumento de los derivados fueron los tensores, y que fue la razón por la que nunca fue más allá de Hesse (ninguno de nosotros había estudiado tensores antes). Si es mayor de derivados no son tensores, entonces, ¿qué son? ¿Dónde puedo aprender más acerca de ellos?

Answer 1

No tengo idea de lo que la entrada de la Wikipedia está tratando de decir, pero el encarecimiento de los derivados están perfectamente bien definidas intrínseca de los objetos. Deje $V=\mathbb R^n$ $W=\mathbb R^m$ y deje $f: V \to W$ ser una función derivable. (Esto también funciona para los espacios de Banach en general, con algunas pequeñas modificaciones.) La derivada de $f$ es el mapa $$ Df: V \to L(V,W), $$ donde $L(V,W)$ denota el espacio de transformaciones lineales, que se asocia a un punto en $V$ el Jacobiano derivadas de $f$ en ese punto.

Ahora teniendo en cuenta $L(V,W)$ (de Banach) espacio en su propio derecho, $f$ es dos veces diferenciable al $Df$ es diferenciable, en cuyo caso la segunda derivada $D^2f$ $f$ es el derivado de la $Df$, que es entonces un mapa $$ D^2f: V \to L(V,L(V,W)). $$ La identificación de $L(V,L(V,W))$ con el espacio de bilineal mapas de $V \times V$ $W$conduce el pensamiento de la segunda derivada como una $2$-tensor. Claramente este proceso puede ser continuo, que conduce a derivadas de orden superior y, en particular, la tercera derivada de $f$ sería un mapa $$ D^3f: V \to L(V,L(V,L(V,W))), $$ que puede ser pensado como un $3$-tensor y algunas identificaciones.