¿En un anillo comutativo, el producto de prime no es un primer?

Question

<blockquote> <p>Supongamos que tenemos un comutativo anillo $R$ $a, b \in R$ elementos primeros. $ab$ ¿Puede ser un elemento primordial?</p> </blockquote> <p>Nota: $x$ es un elemento principal si $x | cd$ y $x |c$ o $x|d$. Se trata de un elemento irreducible (divisible sólo por $1$ y sí mismo), más cercano a la noción de un número primo.</p> <p>Otra nota, el anillo debe ser conmutativo! Si no es así, sólo podríamos elegir el anillo de matrices y que %#% $ #%</p> <p>Todos los que son primeros.</p>

Answer 1

Siempre es cierto que $ab\mid ab$. Así que supongo que $ab$ es primo. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que la $ab\mid a$. Entonces existe $c\in R$ tal que $abc = a$. Esto implica que $a(bc - 1) = 0$, por lo que el $a$ es un divisor de cero.

Si $R$ es una parte integral de dominio, entonces cualquiera de las $a$ es cero, o $bc = 1$. Sin embargo, este último estaría en contradicción con primeness de $b$, por lo que el $a$ debe ser cero. En una parte integral de dominio, esta es la única manera de que el producto de dos números primos puede volver a ser la prime - uno de los dos primos deben ser $0$.

Si $R$ no es una integral de dominio, a continuación, uno de los dos primos debe ser un divisor de cero, y hay ejemplos no triviales de que el producto de números primos de primos. Por ejemplo, consideremos el anillo de $R = \Bbb Z/6\Bbb Z.$ $2$ es el primer (esto se puede verificar con la mano, o usted puede calcular que $R/2R\cong \Bbb F_2$). Sin embargo, $4$ es también el primer (de nuevo pasar por la mano de cómputo o $(4) = (2)$). Por lo tanto, tenemos $2\cdot 2 = 4$, e $2$ $4$ son ambos primos.