Propiedades y notación de las derivadas parciales de tercer orden (y superiores)

Question

Esta pregunta me preocupa desde hace tiempo y todavía no he encontrado una respuesta satisfactoria en ningún sitio de Internet ni en ninguno de mis libros (lo que puede no ser que avanzada, eso sí...). Como no he podido encontrar una pregunta similar aquí en MSE, probablemente sea bastante obvia si tienes un nivel suficientemente avanzado, cosa que yo no tengo (¡todavía soy estudiante y mis conocimientos de tensores son realmente escasos!) Por simplicidad, tomaré un ejemplo concreto para mi pregunta. Aquí está:

Dejemos que $f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ ; $(x,y) \rightarrow f(x,y)$ sea una función continua con dos variables $x$ y $y$ .

El "equivalente" de la primera derivada conocida de las funciones de una sola variable sería el gradiente:

$\nabla f = \left(\begin{array}{cccc} f_x \\ f_y \end{array}\right)$

La segunda derivada es la matriz hessiana: $H_f(x,y) = \left(\begin{array}{cccc} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{array}\right)$

¿Cómo es la derivada de tercer orden de esta función (o en general...)? He podido averiguar que es un tensor de orden $3$ . ¿Cómo se anota un objeto geométrico así?

En cuanto a las propiedades: el gradiente es un campo vectorial que representa la "pendiente" de la función en cualquier punto mediante un vector (es decir: una orientación y una magnitud). La matriz hessiana nos muestra la tasa de cambio del gradiente (¿uso correcto de las palabras?). Así que por esta analogía, la tercera derivada mide la tasa de cambio de la segunda derivada. ¿Pero cómo?

Siéntase libre de cambiar las etiquetas y editar mi respuesta, si lo considera necesario. ¡Espero con interés cualquier respuesta!

Gracias de antemano, SDV

Answer 1

He escrito un curso algo excéntrico sobre esto, que se puede encontrar aquí:

http://ximera.osu.edu/course/kisonecat/m2o2c2/course/activity/week1/

Una respuesta corta a su pregunta, sin embargo, es que si $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ entonces $D^{k+1} f$ es un localmente a $(k+1)$ -con la propiedad de que

$$ D^{k}f\big|_{p+v_{k+1}}(v_1,v_2,...,v_k) \approx D^{k}f\big|_{p}(v_1,v_2,...,v_k) +D^{k+1}\big|_{p}(v_1,v_2,...,v_k,v_{k+1}) $$

En otras palabras, el $(k+1)$ El derivado mide los cambios en el $k$ derivado.

Para escribir las cosas en una base, en notación de Einstein, tenemos

$$D^k f = f_{i_1i_2...i_k} dx^{i_1} \otimes dx^{i_2} \otimes ... \otimes dx^{i_k}$$

donde $f_{i_1i_2...i_k}$ es la derivada parcial superior de $f$ con respecto a $x_{i_1}$ entonces $x_{i_2}$ etc.

Debo señalar que el teorema de Taylor multivariable resulta especialmente fácil de escribir utilizando este formalismo:

$$ f(x+h) = f(x)+Df\big|_x (h)+\frac{1}{2!} D^2 f\big|_x (h,h)+\frac{1}{3!} D^3 f\big|_x (h,h,h)+... $$

Esto también puede iluminar la presencia de $\frac{1}{k!}$ en el teorema de Taylor: surge de la $k!$ permutaciones de los argumentos.

Answer 2

El gradiente no es el equivalente real, aunque muchos textos lo tratan como si lo fuera.

El derivado de una función $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ en un punto $p\in\mathbb{R}^n$ es un $1$ -tensor, lo que significa que come un vector y escupe un número. Más concretamente, la cosa es obtener una función $I\to\mathbb{R}$ , donde $I$ es un segmento abierto en $\mathbb{R}$ y luego diferenciarlo. Así que dado un punto $p\in\mathbb{R}^n$ y una "dirección" $v\in\mathbb{R}^n$ definimos $g_{p,v}:(-\epsilon,\epsilon)\to\mathbb{R}$ por $t\mapsto f(p+tv)$ y luego: $$df_p(v)=g_{p,v}'(0).$$ Por lo tanto, como se ha afirmado anteriormente, el $1$ -tensor $df_p$ se come un vector ( $v$ la dirección), y devuelve un número (la derivada direccional correspondiente). Dado que $df_p$ es una transfomación lineal $\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ la matriz adecuada para representarla es un vector de filas (en lugar de un vector de columnas).

El segunda derivada es un $2$ -tensor, es decir, se come dos vectores. El procedimiento es el siguiente: dado un punto $p\in\mathbb{R}^n$ y dos direcciones $u,v\in\mathbb{R}^n$ primero definimos $h_{p,u,v}:(-\epsilon,\epsilon)\to\mathbb{R}$ por $t\mapsto df_{p+tu}(v)$ y luego (usando $d^2f_p$ para el tensor de la segunda derivada) $$d^2f_p(u,v)=h_{p,u,v}'(0).$$ Desde $d^2f_p$ no es más que un forma bilineal puede ser representado por un $n\times n$ matriz.

Las derivadas superiores se definen de forma análoga, y sí, la $m$ La derivada es una $m$ -tensor, lo que significa que uno le da $m$ y devuelve un número. Se puede representar (si insistimos) por un $m$ matriz dimensional $n\times n\times\ldots\times n$ .