Muestran que

Question

Como se indica en el título, debo demostrar que $(a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + (a+b+c)(ab+ac+bc)$.

Mi razonamiento: $$(a + b + c)^3 = [(a + b) + c]^3 = (a + b)^3 + 3(a + b)^2c + 3(a + b)c^2 + c^3$ $

$$(a + b + c)^3 = (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) + 3(a^2 + 2ab + b^2)c + 3(a + b)c^2+ c^3$$

$$(a + b + c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3a^2b + 3a^2c + 3ab^2 + 3b^2c + 3ac^2 + 3bc^2 + 6abc$$

$$(a + b + c)^3 = (a^3 + b^3 + c^3) + (3a^2b + 3a^2c + 3abc) + (3ab^2 + 3b^2c + 3abc) + (3ac^2 + 3bc^2 + 3abc) - 3abc$$

$$(a + b + c)^3 = (a^3 + b^3 + c^3) + 3a(ab + ac + bc) + 3b(ab + bc + ac) + 3c(ac + bc + ab) - 3abc$$

$$(a + b + c)^3 = (a^3 + b^3 + c^3) + 3(a + b + c)(ab + ac + bc) - 3abc$$

%#% $ #% No parece que cometí errores por descuido, por lo que me pregunto si lo pidió es correcta.

Answer 1

En general, $$a^n+b^n+c^n = \sum_{i+2j+3k=n} \frac{n}{i+j+k}\binom {i+j+k}{i,j,k} s_1^i(-s_2)^js_3^k$$

donde $s_1=a+b+c$, $s_2=ab+ac+bc$ y $s_3=abc$ son de la escuela primaria simétrica polinomios.

En el caso de que $n=3$, los triples son posibles las $(i,j,k)=(3,0,0),(1,1,0),$ $(0,0,1)$ dando la fórmula:

$$a^3+b^3+c^2 = s_1^3 - 3s_2s_1 + 3s_3$$

cual es el resultado que obtuvo.

En general, cualquier simétrica polinomio homogéneo $p(a,b,c)$ grado $n$ puede ser escrita en la forma:

$$p(a,b,c)=\sum_{i+2j+3k=n} a_{i,j,k} s_1^i s_2^j s_3^k$$

para algunas constantes $a_{i,j,k}$.

A menudo he pensado Último Teorema de Fermat fue de lo más interesante cuando se expresa como una pregunta acerca de estos polinomios. Una declaración de Fermat puede ser escrita como:

Si $p$ es un extraño primo, entonces $a^n+b^n+c^n=0$ si y sólo si $a+b+c=0$$abc=0$.

Answer 2

$(a+b+c)^3 + 3abc = a^3 + b^3 + c^3 + (a+b+c)(ab+ac+bc)$, que es la factorización correcta supongo

Answer 3

$(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(a+c)$ $3(a+b)(b+c)(c+a) = 3a^2b + 3a^2c + 3ab^2 + 3b^2c + 3ac^2 + 3bc^2 + 6abc$

Supongo que la factorización correcta