¿Es$\mathbb{Z}_p$ un campo finito?

Question

Indicar los enteros modulo $p$, $\mathbb{Z}$ mod $P$$\mathbb{Z}_P$. Denota el conjunto de números enteros equivalente a $n$ mod $P$ - la clase de equivalencia de a$n$$\overline{n}$.

Sabemos que para cualquier prime $p$, $\mathbb{Z}_P$ es un campo. Como un campo finito contiene un número finito de elementos, y $\mathbb{Z}_P$ tiene elementos $\overline{0}, \overline{1}, \ldots, \overline{p-1}$, lo que obviamente es un conjunto finito. Así es $\mathbb{Z}_P$ un campo finito?

(Podría ser el caso de que $\mathbb{Z}_P$ no es un campo finito, porque a pesar de $\mathbb{Z}_P$ contiene sólo $p$ elementos, cada uno de estos elementos es un conjunto infinito?)

Answer 1

Sí, es un campo finito. No importa que los elementos de ese campo sean conjuntos (infinitos), la relación "elemento de" no es transitiva [en general, hay conjuntos con la propiedad que$x\in y \in T \Rightarrow x\in T$, pero esta no es una de ellos].

Answer 2

Para cualquier anillo$R$ e ideal$I \leqslant R$,$R/I$ es un campo si y solo si$I$ es máximo. Deja que$R = \Bbb{Z}$ en tu problema. Demuestre que cada ideal principal es máximo en$\Bbb{Z}$.

Answer 3

Sí, es un campo, como se demostró. Respondo solo para acentuar algo:

Notar$\mathbf{Z}_p$ para$\mathbf{Z} / p \mathbf{Z}$ es una mala idea, incluso si es habitual en algunos niveles / países (aunque no creo que lo sea) para$\mathbf{Z}_p$ es una notación universalmente estándar para el anillo de$p$ - enteros adic, finalización de$\mathbf{Z}$ para un$p$ - valor absoluto adic en$\mathbf{Z}$. Hay una notación aceptada universalmente para$\mathbf{Z} / p \mathbf{Z}$ cuando$p$ es primo, y es$\mathbf{F}_p$. No creo que haya uno para un primo que no sea$p$.