He probado la fórmula de la frecuencia natural del circuito RLC y obtengo exactamente el resultado contrario. ¿Por qué?

Question

Para un circuito RLC en serie, la frecuencia natural (frecuencia angular de la corriente en ausencia de una tensión de conducción armónica) viene dada por la fórmula:

$$\omega=\omega_0\sqrt{1-\zeta^2}\tag{1}$$

donde $\omega_0$ es la frecuencia de resonancia y $\zeta$ es el factor de amortiguación definido por:

$$\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}},\,\,\,\zeta=\frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}}\tag{2}$$

La predicción de esta fórmula es que, si mantenemos $L$ y $C$ fija, el aumento de la resistencia disminuye la frecuencia natural, hasta llegar al valor críticamente amortiguado $\zeta=1$ En este punto, las respuestas de voltaje/corriente sólo implicarán un decaimiento exponencial. Esta teoría El gráfico (tomado de la wikipedia) muestra exactamente esto. Si se observa detenidamente ese gráfico, se puede ver que con el aumento de $\zeta$ el período de oscilación aumenta y, por tanto, la frecuencia natural disminuye.

Construí un sencillo circuito RLC en el laboratorio de mi universidad e intenté comprobarlo. Con $L\approx 4\text{ mH}$ y $C\approx 4\text{ nF}$ En este caso, apliqué una onda cuadrada a mi circuito (con un período mucho más largo que el período natural) y comprobé la frecuencia natural para $R\approx 10\,\Omega$ y $R\approx 4010\, \Omega$ . Medí la tensión a través del inductor y obtuve literalmente el resultado contrario.

Aquí hay una foto de la traza del osciloscopio con $R\approx 10\,\Omega$ . El tiempo por división horizontal es $5\,\mu\text{s}$ y los voltios por división vertical se han escalado de tal manera que el pico de la forma de onda se encuentra a 3 divisiones del centro. Se puede ver que la mitad del período natural es de aproximadamente 2,7 divisiones.

Aquí hay una foto de la traza del osciloscopio con $R\approx 4010\,\Omega$ . El tiempo por división horizontal es exactamente lo mismo - $5\,\mu\text{s}$ - y los voltios por división vertical se han escalado de forma que el pico de la forma de onda se sitúa a 3 divisiones del centro. Se puede ver que la mitad del período natural es aproximadamente 1,1 divisiones.

Se puede ver en esas imágenes que, como era de esperar, al aumentar la resistencia aumenta la amortiguación relativa de la forma de onda/envolvente.

Sin embargo, también se puede ver claramente que el aumento $R$ disminuye el periodo, y por tanto aumenta la frecuencia natural, lo que es contrario a lo que esperábamos basándonos en la ec. (1). ¿Hay alguna explicación sencilla para esto?

Answer 1

Para $L=4\,\mathrm{mH}$ y $C=4\,\mathrm{nF}$ el período natural no amortiguado es

$$T_0 = 2\pi\sqrt{LC} \approx25\,\mathrm{\mu s}$$

Así que su primera medición con $R=10\,\Omega\; (\zeta=0.005)$ parece ser lo que se espera.

Sin embargo, con $R=4010\,\Omega$ el sistema está sobreamortiguado $(\zeta=2.005)$ y así el la respuesta al paso no debe ser oscilante es decir, no debería haber ninguna oscilación decadente ("timbre") en absoluto.

Ya que usted hacer ver el timbre, es posible que el capacitancia de entrada del osciloscopio (en paralelo con el inductor) es el culpable. Suponiendo un valor de $100\,\mathrm{pF}$ para la capacitancia de entrada, el período natural de esa $LC$ combinación es

$$T'_0 \approx 3.85\,\mathrm{\mu s}$$

Esto, por supuesto, se vería incrementado por la $R$ y $C$ y se ve un "período" de aproximadamente $\approx 11\,\mathrm{\mu s}$ para el timbre.

¿Qué tipo de sonda está utilizando? 1:1? 10:1?