¿No existe tal cosa como el magnetismo?

Question

He aquí un interesante "prueba" de que no hay tal cosa como el magnetismo. Yo sé la respuesta, pero me encanta este tanto que le tuve que preguntar aquí. Es una gran manera de confundir a la gente!

Como todos sabemos, $$\nabla \cdot\vec{B} =0$$ Utilizando el teorema de la divergencia, nos encontramos con $$ \iint_S \vec{B} \cdot \hat{n} \, dS = \iiint_V \nabla \cdot \vec{B} \, dV = 0$$ Desde $\vec{B}$ cero, con una divergencia, existe un vector de la función $\vec{A}$ tal que $$\vec{B} = \nabla \times \vec{A}$$ Combinando las dos últimas ecuaciones obtenemos $$\iint_S \hat{n} \cdot \nabla \times \vec{A} \, dS = 0$$ La aplicación de Stokes teorema, nos encontramos con $$\oint_C \vec{A} \cdot \hat{t} \, ds = \iint_S \hat{n} \cdot \nabla \times \vec{A} \, dS = 0$$ Por lo tanto, $\vec{A}$ es la ruta de acceso independiente y se puede escribir $\vec{A} = \nabla \psi$ para algunos escalares función de $\psi$. Ya que la curvatura de la gradiente de una función es igual a cero, se llega a: $$\vec{B} = \nabla \times \nabla \psi = 0,$$ lo que significa que todos los campos magnéticos son cero, pero eso no puede ser!

Se puede ver donde nos salió mal?

Answer 1

Aquí algo de la wikipedia:

"Este clásico de Kelvin–teorema de Stokes relaciona la integral de superficie de la curvatura de un campo vectorial F sobre una superficie Σ en Euclídeo de tres-espacio para la integral de línea del campo vectorial a través de su frontera ∂Σ."

La captura en la declaración de Stokes es el teorema de "límite".Así que si V es un volumen 3D,entonces es el límite será en 2D superficie, que será cerrado como V es un volumen 3D.Ahora aquí está la captura,el límite de una superficie cerrada no existe o es nula.(Esto ha sido señalado matemáticamente por Qmechanic como $C=\partial S=\partial^2 V=\phi$).

De manera muy simplificada es como la conclusión de $a=0$$a \times 0=0$.

Answer 2

Tenga en cuenta que $\partial V=S$, para que

$$\tag{1} C~=~\partial S~=~\partial^2V~=~\emptyset$$

es el conjunto vacío. (Topológico, el límite de un límite está vacío, o equivalente, el % de operador de límite $\partial^2=0$plazas a cero). Por otra parte, la circulación

$$\tag{2} \Gamma~=~\oint_{C=\emptyset}\vec{A}\cdot d\vec{r}~=~0$$

a lo largo de la curva de vacíela $C=\emptyset$ desaparece idénticamente para cualquier vector campo $\vec{A}$. En particular, uno puede no concluir de (2) que el % de potencial magnético $\vec{A}$debe ser un campo gradiente.

Answer 3

La adición de un cerrado límite de $C$ de todo el volumen en general se divide $S$ en dos superficies de $S_1$ $S_2$ para que el Stoke del teorema se tiene:

\begin{align*} \oint_C \vec{A} \cdot \hat{t} \, ds &= \iint_{S_1} \hat{n} \cdot \nabla \times \vec{A} \, dS\tag{1}\\ \oint_C \vec{A} \cdot \hat{t} \, ds &= \iint_{S_2} \hat{n} \cdot \nabla \times \vec{A} \, dS\tag{2} \end{align*}

Puedo utilizar estas dos formas de mostrar donde su argumento es falso:

1. La mano izquierda lados de (1) y (2) debe ser negativo el uno del otro debido a que los lados de la parte derecha de suma cero, y por lo tanto $$\oint_C (\vec{A} - \vec{A}) \cdot \hat{t} \, ds = \iint_{S_1} \hat{n} \cdot \nabla \times \vec{A} \, dS + \iint_{S_2} \hat{n} \cdot \nabla \times \vec{A} \, dS = 0$$ Así que usted debe haber utilizado $\vec{A}-\vec{A}$ en lugar de $\vec{A}$ en la aplicación del teorema de Stokes y la conclusión de los argumentos, para dar el resultado trivial $\vec B - \vec B = 0$
2. Deje $S_1\rightarrow S,\,S_2\rightarrow 0$$C\rightarrow 0$. A continuación, $(1)$ se reduce a la aplicación del teorema de Stokes, que se reduce a $\vec{A}\cdot\vec 0 = 0$, con lo que sus siguientes argumentos irrelevantes.