¿Cuando son representaciones proyectivas irreducibles con el mismo sistema de factor projectively equivalentes?

Question

Considere dos irreductible, unitaria representaciones proyectivas $\rho$ $\tau$ de un grupo finito G en el mismo complejo espacio de la matriz. Si estas representaciones son projectively equivalente, es decir,. $\rho (g)=c(g)U\tau (g)U^{-1}$ todos los $g$$G$, y para algunos unitario de la matriz $U$ y una función escalar $c:G\rightarrow \mathbb{C}$, entonces el factor de sistemas de $\rho$ $\tau$ son equivalentes modulo un coboundary.

Ahora quiero saber la inversa: si el factor de sistemas de $\rho$ $\tau$ son conocidos por ser equivalente, bajo que condiciones, que implican que $\rho$ $\tau$ debe ser projectively equivalente?

EDIT: voy a hacer mi pregunta más explícito. Considere la posibilidad de un fijo cocycle $\omega:G\times G\rightarrow \mathbb{C}^\times$. Está claro que, si $\rho (g)$ es una irrep con factor de sistema de $\omega$, entonces también lo es $\tau (g)=\chi (g)U\rho (g)U^{-1}$ para un unitario $U$ y un 1D rep $\chi$ (el hecho de que $\chi$ es una representación significa que no se cambia el cocycle $\omega$.)

Mi pregunta es, ¿bajo qué condiciones en $G$ $\omega$ es cierto que todas las irreps con factor de sistema de $\omega$ puede estar relacionado con $\rho$ de esta manera? Por Qiaochu la respuesta, esto es cierto si $\omega$ es "degenerada", y en este caso $\chi(g)$ siempre es trivial ya que todos irreps son linealmente equivalentes. Ya que sólo requieren proyectiva de equivalencia, podemos aflojar la no-degenerada condición?

Por ejemplo, el grupo diedro $D_4$ satisface mi condición, pero no admite un no-degenerada cocycle ya que no es un grupo de la central tipo. El grupo simétrico $S_4$, por otro lado, parece tener tanto en 2D y 4D irreps con el mismo cocycle, así que mi propiedad no puede ser satisfecho.

FINAL DE EDICIÓN

Me disculpo si este es un trivial pregunta, soy nuevo en este campo.

Answer 1

Las representaciones con un fijo de 2-cocycle $c : G \times G \to \mathbb{C}^{\times}$ (lo que significa que $\rho(g) \rho(h) = c(g, h) \rho(gh)$) corresponden a los módulos a través de la trenzado grupo de álgebra $\mathbb{C} \rtimes_c G$, $\mathbb{C}[G]$ con la modificación de la multiplicación

$$g \cdot h = c(g, h) gh.$$

Como el grupo de álgebra, la retorcida grupo de álgebra es semisimple, por lo que el número de clases de isomorfismo de irreductible proyectiva representaciones con 2-cocycle $c$ es la dimensión del centro. Ahora se calcula: $z = \sum z_g g$ es central en el trenzado grupo de álgebra iff

$$h \cdot z = \sum z_g c(h, g) hg = z \cdot h = \sum z_g c(g, h) gh$$

y haciendo la sustitución de $g \mapsto hgh^{-1}$ en el segundo suma da que esto es cierto iff para cada $g, h \in G$ hemos

$$z_g c(h, g) = z_{hgh^{-1}} c(hgh^{-1}, h).$$

Esto significa que $z_g$ determina la $z_{g'}$ cualquier $g'$ conjugado de a $g$, pero además de esto también significa que si $g = hgh^{-1}$, o, equivalentemente, $h$ se encuentra en el centralizador $Z_G(g)$, luego

$$z_g c(h, g) = z_g c(g, h)$$

así que o $z_g = 0$ o $c(h, g) = c(g, h)$ todos los $h \in Z_G(g)$. Por lo que la dimensión del centro es el número de clases conjugacy de $G$ con esta propiedad. La única clase conjugacy que obviamente tiene esta propiedad es la que contiene la identidad, aunque a veces (por ejemplo, si $c(g, h) = 1$ es la trivial 2-cocycle) cada conjugacy clase. Creo que esta propiedad tiene un nombre pero no lo recuerdo; usted puede mirar para arriba "twisted grupo de álgebra" y, probablemente, encontrar algunas referencias.