sistema de medida de tipo Cantor

Question

Demostrar que la medida de Lebesgue de la conjunto de ${x\in[0,1]: \text{decimal expansion of $x $ contains only finitely many 7s}}$ es cero.

He pensado que si puedo mostrar ese medida de $\limsup A_k$ 1, entonces es prueba, donde

$$A_k=\bigcup_i^{9^{k-1}} \left[\frac{10i+7}{10^k},\frac{10i+7}{10^k}\right]$$

(conjunto de $A_k:={}$ $x$ tal que decimal de $k$ th es $7$)

Pero por Borel Cantelli he encontrado que $\limsup A_k$ tiene medida cero. Creo que, el conjunto de las preguntas es el complemento de $\limsup A_k$. Cualquier ayuda o mejora o refutación de mis afirmaciones son bienvenidos.

Answer 1

Deje $A$ el conjunto de los números en $[0, 1]$ de manera tal que la expansión decimal no contenga $7$s. Por esta cuestión, $m(A) = 0$.

Deje $B$ el conjunto de los números en $[0, 1]$ de manera tal que la expansión decimal contiene un número finito de $7$s, y el resto son todos los $0$s. Desde $B$ es un subconjunto de a $\mathbb Q$, es contable.

Deje $X$ el conjunto en su pregunta. Tenemos $$ X \subconjunto \bigcup_{b \B} (a + b). $$

Por la traducción de la invariancia de la medida de Lebesgue, tenemos $$ m(X) \le \sum_{b \B} m(a + b) = 0. $$