Divergencia

Question

Muestran que la serie

$$\sum_n \tan\left(\frac{1}{n}\right)$$

diverge.

No tengo cualquier intento de hacerlo, ya que estoy teniendo algunos problemas con serie incluyendo funciones geométricas. Estaría contento si pudiera conseguir una respuesta detallada, si es posible.

¡Gracias!

Answer 1

Sugerencia: $x \in (0,\tfrac{\pi}{2})$ tenemos $\tan x > x$. Así, $\tan \dfrac{1}{n} > \dfrac{1}{n}$. Ahora use la prueba de comparación.

Answer 2

$x \to 0$, Tenemos que $\frac{\tan x}{x} \to 1$. Así $\tan \frac{1}{n}$ se comporta como $\frac 1n$ como $n$ crece.