generadores de un primer ideal de un anillo noetheriano

Question

Supongamos que $R$ es un anillo noetheriano y $P$ es un ideal primo. ¿Si el número de generadores de $PR_P$ como el ideal en $R_P$ $n$, podemos decir cualquier cosa sobre el número de generadores de $P$ como un ideal de $R$?

Answer 1

Ciertamente, $P$ tiene al menos $n$ generadores, como las imágenes de los generadores en $R_p$ generar $PR_p$. Como se puede ver a partir de Andrea del comentario, de la que no podemos dar una cota superior en general. Esto es debido a que el número de generadores que no es realmente un "agradable" de la propiedad de los ideales. Estrechamente relacionados con la propiedad está a la altura de un ideal, que para un alojamiento ideal $P$ es el supremum de las longitudes de las cadenas de primer ideales contenidos en $P$, y para un general ideal es el infimum de las alturas de primer ideales que la contiene. Ya tenemos un bijection entre los ideales de $R$ $P$ y los ideales de $R_P$, la altura de $P$ es la misma que la altura de $PR_P$. Si bien esto no es exactamente lo que usted está buscando, está cerca. Por la generalizada principal ideal teorema dela altura de un ideal en un Noetherian anillo es mayor el número de generadores. En algunos casos podemos decir más, sobre todo en el primer ideales. Por ejemplo, el primer ideales de la altura de la $1$ en una unidad flash usb tienen exactamente un generador. En un anillo local regular, la altura de la máxima ideal es igual a su número de generadores.