Tengo estas preguntas de los deberes y no tengo ni idea de cómo empezar. Sé que toda función real que es continua en un intervalo cerrado, se considera continua uniforme en este intervalo. Sin embargo, mi problema es cómo tratar con un intervalo como éste: $[a,\infty)$ , $(a,b)$ . Tengo que demostrar que $\frac{1-sinx}{cosx} $ es continua uniforme en $(0,0.5\pi)$ . Y también la función ${\sqrt{x}}sin \frac {1}x{}$ es continua uniforme en el intervalo $(0,\infty)$ . Cualquier pista, dirección o forma será de ayuda. Gracias de antemano.
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Dejemos que $f : (a, b) → \mathbb{R}$ continua. $f$ es uniformemente continua si y sólo si $\lim_{x \to a} f(x)$ y $\lim_{x \to b} f(x)$ existe .
$f(x)=\frac{1- \sin x}{\cos x}$ es continua.
$$\lim_{x \to 0} f(x)=1$$
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} f(x)=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1-\sin x}{\cos x}=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{- \cos x}{- \sin x}=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\sin x}=0$$
Así que $f$ es uniformemente continua.
