Puede existir estas holomorhic funciones $f:D(0,1)\to \mathbb{C}$

Question

i) $$\begin{align} \text{Let }f:D(0,1)\to \mathbb{C} \text{ holomorphic ,%#%#% Show that } f(\frac{1}{n})\ne \frac{1}{n+1} \end {Alinee el} $$ para todos los números naturales, excepto tal vez para algunos casos finitas.

Yo consideraba $\$ y $\alpha_n=\frac{1}{n}$. También $\frac{1}{n+1}=\frac{\alpha_n}{\alpha_n +1}$ y podemos ver que $g(z)=f(z)- \frac{z}{z+1}$, por lo tanto, $\alpha_n\to0, g(\alpha_n)=f(\alpha_n) +\frac{\alpha_n}{\alpha_n+1}=0$ por el teorema de identidad y esto donde me han pegado.

II) $$\begin{align} \ \ \text{Let }f:D(0,1)\to \mathbb{C} \text{ holomorphic }\ f(1-\frac{1}{n})=0 , \forall n= 1,2,.. \end {Alinee el} $$

¿Puede existir tal foliaciones $f(z)=\frac{z}{z+1}$?

Estoy pensando que este celebre $f$

pero tomando el $f\equiv0$ me confunde

Answer 1

(ii) como se puede ver, no tiene condición de identidad teorema $\left(1\in D\right)$. Esto nos puede ayudar a asumir que no se exige solamente $z=0$ función. Si recordamos el teorema de Picard, concluimos que $f$ puede tener singularidad esencial en $1$ y condición llevará a cabo. De hecho, $$f(z)=\sin \frac{\pi}{1-z} $ $ satisface las condiciones: $$\sin \frac{\pi}{1-z}=0 \Leftrightarrow \frac{\pi}{1-z}=\pi k, k\in \mathbb{Z} \Leftrightarrow$ $$\frac{1}{1-z}=k \Leftrightarrow 1-z=\frac{1}{k}, k\in \mathbb{Z}-0 \Leftrightarrow z = 1-\frac{1}{k}, k\in \mathbb{Z}$$ % $ $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$ hemos encontrado función correspondiente distinto de cero.