Sobre los coeficientes de las integrales de Fourier.

Question

Si un $2\pi$-función periódica $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ es Lebesgue integrable en $[-\pi,\pi]$, y la serie de $\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty [a_n \cos{nx}+b_n \sin{nx}] $ donde $(a_n), (b_n)$ son algunos de los verdaderos secuencias, es convergente a $f$ uniforme o en $L_p$ norma o pointwise, a continuación, se sabe que $a_n$, $b_n$ son los coeficientes de Fourier de $f$. (La última parte de esta declaración es du Bois-Reymond teorema).

Mi pregunta se refiere a la analógica de tal tipo de teoremas de la transformada de Fourier de las integrales. A saber:

Deje $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ser Lebesgue integrable y vamos a

$f(x)=\lim_{T\rightarrow \infty} \int_0^T [a(\omega) \cos (\omega x)+b(\omega )\sin(\omega x)]d\omega$ $x \in \mathbb{R}$.

Bajo qué condiciones:

$a(\omega)=\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^\infty f(x) \cos(\omega x)dx$,

$b(\omega)=\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^\infty f(x) \sin(\omega x)dx$ ?

Gracias.

Answer 1

Disculpad los diferentes convenios, pero el trabajo con las $\sin$ $\cos$ es tedioso. Aquí $$ \hat{f}(k) := \int_{\mathbb{R}} dx \, e^{-ikx} \, f(x). $$

Tenemos la Riemann-Lebesgue Lema (Reed & Simon: Métodos de la Moderna La Física matemática, Vol II, Teorema IX.7):

La transformada de Fourier [en el espacio de Schwartz $\mathcal{S}$ de las funciones de rápido la caries] se extiende únicamente a un mapa continuo de $L^{1}$ a (NO necesariamente a) $C_{\infty}$ las funciones continuas de fuga en el infinito.

Bosquejo de la prueba:

Para $f \in \mathcal{S}$ $$ \|\sombrero de f\|_{\infty} \leq \|f\|_{1} $$ es obvio e $\mathscr{S}$ es denso en $L^{1}$.

Así, una condición necesaria es $a(k) \in C_{\infty}$.

A partir de ahora vamos a $a(k) \in C_{\infty}$ y $$ f (x) = \mathcal{S}'-\lim_{T \rightarrow \infty} \int_{-T}^{T} \frac{dk}{2 \pi} \, e^{ikx} \, (k), $$ es decir, asumo que la debilidad de la convergencia como un templado de distribución, si usted desea: $L^{1}$ límite implica que (usted debe especificar la convergencia en su la pregunta).

Entonces para todas las funciones de prueba de $\varphi \in \mathcal{S}$ hemos $$ \int_{\mathbb{R}} dx f(x) \hat{\varphi}(x) = \lim_{T} \int_{\mathbb{R}} dx \left\{ \int_{-T}^{+T} \frac{dk}{2 \pi} \, e^{ikx} \, (k) \right\} \hat{\varphi}(x). $$ La regularidad de $a$ $\varphi$ nos permite aplicar el teorema de Fubini y tomar el límite: $$ \int f \hat{\varphi} = \int \varphi. $$ Por lo tanto $a$ coincide con la transformada de Fourier de $f$ como templado distribución y también en $L^1$. Por la definición de la integral Lebesgue lema que hemos deseado $$ a(k) = \int f(x) e^{-ikx}. $$