Cálculo de la métrica de estudio de Fubini en gráfico afín

Question

Alguien hizo esta pregunta hace poco y luego lo borré, pero todavía me gustaría averiguar la respuesta.

Tratemos de calcular el Fubini-Estudio de la métrica en coordenadas no homogéneas en $\mathbb{C} P^n$, utilizando el Hopf fibration. Por simplicidad, hagamos $n=1$.

Empezar con $\mathbb{C}^2$. En el estándar de coordenadas $(Z_0, Z_1)$, el plano estándar métrica es dada por $g= dZ_0\,d\overline{Z_0} + dZ_1\,d\overline{Z_1}$. Esta métrica se restringe a la ronda de métrica en la unidad de la esfera de $S^3$ visto como $S^3 = \{|Z_0|^2 + |Z_1|^2 = 1\}$.

El grupo de la unidad de los números complejos $U(1)$ actúa en $S^3$ por la multiplicación, y el cociente es el complejo proyectiva de la línea de $\mathbb{C}P^1$. (Tenga en cuenta que este es el Hopf fibration $S^1 \to S^3 \to S^2$). En coordenadas homogéneas $[Z_0 \colon Z_1]$$\mathbb{C}P^1$, el mapa de proyección $\pi \colon S^3 \to \mathbb{C}P^1$ es sólo $(Z_0, Z_1) \mapsto [Z_0 \colon Z_1]$. En la no homogénea coordinar $z = Z_1/Z_0$ (que $[Z_0 \colon Z_1] = [1 \colon z]$), el mapa de proyección es $(Z_0, Z_1) \mapsto z = Z_1/Z_0$.

Desde la métrica en la $S^3$ es invariante bajo la acción de $U(1)$, que desciende a una métrica en $\mathbb{C}P^1$ de manera tal que el mapa de proyección $\pi \colon S^3 \to \mathbb{C}P^1$ es una isometría. Esta métrica en $\mathbb{C}P^1$ es el Fubini-Estudio de la métrica. Con el fin de calcular, podemos utilizar cualquier local de la sección de $s \colon \mathbb{C}P^1 \to S^3$, por ejemplo: $$s(z) = \left(Z_0 = \frac{1}{\sqrt{1+z\overline{z}}}, Z_1 = \frac{z}{\sqrt{1+z\overline{z}}}\right)~.$$ El Fubini-Estudio de la métrica en la coordenada $z$ simplemente será dada por el pull-back métrica $g_{FS} := s^* g = dZ_0\,d\overline{Z_0} + dZ_1\,d\overline{Z_1}$ donde $Z_0$ $Z_1$ denotar (algo abusivamente) las funciones de $z$ dado por la definición de $s(z)$ anterior.

Un cálculo directo le da: $$dZ_0 = \frac{-\overline{z}\,dz - z\,d\overline{z}}{2(1+z\overline{z})^{3/2}}$$ $$dZ_1 = \frac{(2+z\overline{z})\,dz - z^2 \,d\overline{z}}{2(1+z\overline{z})^{3/2}}$$ que los rendimientos de $$dZ_0\,d\overline{Z_0} + dZ_1\,d\overline{Z_1} = \frac{-\overline{z}^2\,dz^2 - z^2\,d\overline{z}^2 + 2(2+z\overline{z})\,dz\,d\overline{z}}{4\,(1+z\overline{z})^2}$$

El problema es que esto no es lo que se espera: en lugar esperamos $$g_{FS} = \frac{dz\,d\overline{z}}{(1+z\overline{z})^{2}}~.$$

Donde he ido mal?

Answer 1

Me encontré donde me salió mal, pero me tomó un tiempo para solucionarlo.

Primero, note que la afirmación de que "el mapa de proyección $\pi \colon S^3 \to \mathbb{C}P^1$ es una isometría" no puede ser cierto, ya que la $S^3$ $\mathbb{C}P^1$ no tienen la misma dimensión. Cuando uno hace un cociente de Riemann, lo que se requiere es que el mapa de proyección es isométrico para la tangente vectores que son ortogonales a las fibras. Por esta razón, también es falso decir que "con el fin de calcular la métrica de $\mathbb{C}P^1$, podemos usar cualquier local de la sección de $s \colon \mathbb{C}P^1 \to S^3$". Sólo una sección que es ortogonal transversal a las órbitas de los $U(1)$-de la acción isométrica.

Así que para arreglar mi cálculo miré para una trama ortogonal. Denotar por $s_0 \colon \mathbb{C}P^1 \to S^3$ la sección hemos elegido originalmente, a continuación, echemos un vistazo a otra sección de la forma $s(z) = e^{i\theta(z)}\,s_0(z)$ donde $\theta(z)$ es un valor real función desconocida a ser determinado de tal modo que $s(z)$ es ortogonal a las órbitas de los $U(1)$-acción. Podemos explícitamente encontrar la ecuación satisfecho por $\theta$ por escrito que $s_*\left(\frac{\partial}{\partial z}\right)$ debe ser ortogonal (para el plano estándar métrico $g$$\mathbb{C}^2$) para el campo de vectores $\vec U$ $\mathbb{C}^2$ generación de la $U(1)$-acción.

Si mis cálculos son correctos, con: $$s_*\left(\frac{\partial}{\partial z}\right) = \frac{\partial Z_0}{\partial z} \frac{\partial}{\partial Z_0} + \frac{\partial (\overline{Z_0})}{\partial z} \frac{\partial}{\partial \overline{Z_0}} + \frac{\partial Z_1}{\partial z} \frac{\partial}{\partial Z_1} + \frac{\partial (\overline{Z_1})}{\partial z} \frac{\partial}{\partial \overline{Z_1}}$$ donde he escrito $$s(z) = \left(Z_0(z), Z_1(z)\right) = \left(\frac{e^{i\theta(z)}}{\sqrt{1+z\overline{z}}}, \frac{z\,e^{i\theta(z)}}{\sqrt{1+z\overline{z}}}\right)$$ y $$\vec U = iZ_0 \frac{\partial}{\partial Z_0} -i\overline{Z_0} \frac{\partial}{\partial \overline{Z_0}} + iZ_1 \frac{\partial}{\partial Z_1} + -i\overline{Z_1} \frac{\partial}{\partial \overline{Z_1}}$$ podemos encontrar: $$g\left(s_*\left(\frac{\partial}{\partial z}\right), \vec U\right) = 2 \frac{\partial \theta}{\partial z} -\frac{i\overline{z}}{1+z\overline{z}}$$ por lo tanto, obtenemos la ecuación $$\frac{\partial \theta}{\partial z} = \frac{i\overline{z}}{2(1+z\overline{z})}~.$$

Esta es una muy simple PDE en la función de $\theta \colon \mathbb{C} \to \mathbb{R}$, por desgracia, no tiene ningún tipo de soluciones. De hecho, la igualdad de la mezcla de segunda derivadas parciales de $\theta$ no está verificada, contradiciendo del teorema de Schwarz. Esto era muy preocupante para mí al principio, así que he comprobado mis cálculos una y otra vez. Pero ahora estoy inclinado a pensar que la conclusión de todo esto es que no existe tal ortogonal secciones. Es tal vez un poco contra-intuitivo, pero es totalmente posible que la distribución en el espacio de la tangente de $S^3$ se define como el complemento ortogonal de $\vec U$ no es tangente a submanifolds, en otras palabras no es integrable (es decir, estable bajo la Mentira de soporte, por el teorema de Frobenius). Si alguien podría por favor confirmar esto, eso sería genial. Tal vez no es una buena manera de pensar acerca de este geométricamente en términos de Hopf fibration (donde el $U(1)$de las órbitas son Villarceau círculos).

En cualquier caso, todavía es posible por supuesto, para calcular el cociente de métrica $g_{FS}$$\mathbb{C}P^1$. Sólo vamos a tener que trabajar infinitesimalmente (en el espacio de la tangente) en lugar de las secciones, que en realidad es más fácil. Me deja hacer para la integridad: Deje $\vec v = \alpha \frac{\partial}{\partial z} + \beta \frac{\partial}{\partial \overline{z}}$ a (complexified) vector tangente a $\mathbb{C}P^1$ en algún punto de $z$, y busquemos el único vector tangente $\vec V$ en el punto de $\left(Z_0 = \frac{1}{\sqrt{1+z\overline{z}}}, Z_1 = \frac{z}{\sqrt{1+z\overline{z}}}\right)$ tal forma que:

1. $\vec V$ es tangente a $S^3$ (es decir, ortogonal a la radial campo de vectores $\vec R$).
2. $\vec V$ es ortogonal a $\vec U$ (el campo de vectores de generación de la $U(1)$-acción).
3. $\pi_* (\vec V) = \vec v$.

Es sencillo encontrar ese $\vec V$ está dada por: $$\vec V = (1+z\overline{z})^{-3/2}\left(-\alpha \overline{z}\frac{\partial}{\partial Z_0} -\beta z \frac{\partial}{\partial \overline{Z_0}} + \alpha \frac{\partial}{\partial Z_1} + \beta \frac{\partial}{\partial \overline{Z_1}}\right)~.$$ Desde $\pi$ debe ser isométrica en $\vec V$, podemos escribir: $$g_{FS}(\vec v, \vec v) = g(\vec V, \vec V) = \frac{\alpha \beta}{(1 + z \overline{z})^2}$$ y finalmente se puede concluir que $$g_{FS} = \frac{dz\, d\overline{z}}{(1 + z \overline{z})^2}~.$$