¿Por qué la superficie de una esfera no es dado por esta fórmula?

Question

Si tenemos en cuenta la ecuación de un círculo:

$$x^2+y^2=R^2$$

A continuación, propongo que el volumen de la mitad de una esfera de radio $R$ está dado por la sumatoria de las circunferencias de los círculos entre el origen y el $x=R$ a lo largo del eje x, cada círculo tiene un radio igual a el valor de y en el punto en x.

Desde

$$y={\sqrt{R^2-x^2}}$$

Yo derivados de la fórmula:

$$SA = 2\int^R_0{{\sqrt{R^2-x^2}}}dx$$

Sin embargo, la evaluación de este y mediante la integración por sustitución (el uso de $x=R\sin(u)$ encontrar la integral, he obtenido:

$$SA=2\pi R^2\left[\frac{\sin(2u)}{2}+\frac{u}{2}\right]^{\pi /2}_0$$

He comprobado varias veces y me parece que no puede ver cuál es el problema. Si el problema es con el original de la propuesta, por favor, ¿podría usted explicar por qué la proposición es incorrecta.

Answer 1

Clave lo que está sucediendo aquí es que usted no puede calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo tomando una de las patas del triángulo. Consideremos la integral que da arclength de una curva: usted está añadiendo $\Delta s = \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$ cuando te pique la curva en pedazos, no suma de $\Delta x$. Cuando usted es su integral, está multiplicando la longitud del círculo por $\Delta x$, mientras que usted debe ser multiplicar por $\Delta s$.

Answer 2

Una forma de ver su error es tener en cuenta que la circunferencia de un círculo se mide en (por ejemplo) pulgadas, y el área de la superficie de una esfera se mide en pulgadas cuadradas. Que no se puede averiguar que sumar pulgadas le da pulgadas cuadradas. Su enfoque no es inútil, sin embargo.

Cada círculo está utilizando contribuye un infinitesimalmente amplia franja de la superficie de la zona - digamos que usted está buscando en el círculo de la $x=a$. El ancho de la tira que los suministros de la segunda dimensión que crea la zona de longitudes.

En la configuración de la integral, imagino que la parte de la superficie en $x=a$ es la banda-como la astilla de la zona entre el $x=a$ $x=a+dx$ donde $dx$ es infinitesimalmente pequeño. La forma de la astilla durante un pequeño intervalo de $x$-valores - en particular, su ancho - sin embargo, los cambios como $x$ varía. Específicamente, el ancho no es el valor de la constante $dx$ (que es lo que efectivamente están suponiendo). El uso de $dx$ para el ancho pasa a ser una buena aproximación para la astilla-como bandas estás sumando cerca de $x=a$. Son la forma el borde de una moneda, pero cerca de $x=R$, la banda se forma de manera muy diferente. Es casi aplastado en una lavadora forma, por lo que la anchura es mayor que $dx$. Esta observación es exactamente la razón por la superficie de la zona de los cálculos de la necesidad de utilizar $ds$ (el diferencial o cambio infinitesimal en el arco) en lugar de $dx$. Hay un útil foto aquí.

Answer 3

En esta respuesta que yo estoy presentando un dictamen que es diferente de las otras respuestas.

Las otras dos respuestas parecen estar tratando matemáticamente explicar por qué se supone que uno debe integrarse $\mathrm ds$ en lugar de $\mathrm dx$, pero en mi opinión, las matemáticas sí mismo es incapaz de dar cuenta de esto, porque ambas son hipótesis matemática para modelar el mundo real, y no puede ser probado bien o mal dentro de las matemáticas.

Las matemáticas no se puede saber si un modelo es correcto o incorrecto, sólo evidencia empírica puede. Tanto el $\mathrm ds$ e las $\mathrm dx$ son tales modelos. Ellos son inocentes hasta que el juzgado empíricamente. Y como el camino que a su vez, sólo el ex encaja en el mundo real (el área de la superficie lateral de un cono, por así decirlo).

Para resumir, tiene poco sentido el juez de un modelo matemático sólo dentro de las matemáticas. Sólo la evidencia empírica nos puede decir que los modelos a aceptar y cuáles descartar.