Demuestre que hay infinitos números primos que terminan en 3 o 7 (cuando se escriben en decimal)

Question

He estado luchando con este problema. Ya he demostrado que cada entero que termina en$3$ o$7$ (cuando está escrito en decimal) tiene un factor primo que también termina en$3$ o$7$ (usando$n = 3$ o$7$ (mod$10$)).

Supongo que debo usar este hecho para mostrar que hay infinitos números primos que terminan en$3$ o$7$ pero no estoy seguro por dónde empezar.

Muchas gracias

Answer 1

He aquí una prueba utilizando el teorema del resto Chino.

Suponga que hay sólo un número finito de números primos terminando con $3$ o $7$. Denotar como $p_1,p_2,\ldots,p_n$. Ahora, los números de $p_i$ junto con el número de $10$ son parejas coprime. Por lo tanto, existe un número natural $N$ tal que $N \equiv 1 \mod p_i$ por cada $i$, e $N \equiv 3 \mod 10$. Esta $N$ no tiene factores primos terminando con $3$ o $7$, lo que se contradice con la declaración en el comienzo de su pregunta que ya lo han probado.

Answer 2

Suponga que $p_1=3,p_2=7,p_3,\ldots p_n$ es la lista de todos los números primos que terminan en $3$ o $7$. Considere que el producto $P=\prod_{i=1}^{n}p_i$, que debe terminar en $1,3,7,$ o $9$. Si termina en $3$ o $9$, vamos a $Q=P+4$; si termina en $1$, vamos a $Q=P+2$; si termina en $7$, vamos a $Q=P+10$. A continuación, $Q$ termina en $3$ o $7$ y no es divisible por ninguno de los números primos en la lista de $p_1,p_2,\ldots,p_n$. Se trata de un nuevo primer (que termina en $3$ o $7$), o bien tiene un nuevo primer factor (que termina en $3$ o $7$); en cualquier caso, contradice la suposición de que la lista inicial fue exhaustiva. Llegamos a la conclusión de que el número de números primos tiene que ser infinita.