Calcular $\lim\limits_{n \to \infty} \frac1n\cdot\log\left(3^\frac{n}{1} + 3^\frac{n}{2} + \dots + 3^\frac{n}{n}\right)$

Question

Calcular $L = \lim\limits_{n \to \infty} \frac1n\cdot\log\left(3^\frac{n}{1} + 3^\frac{n}{2} + \dots + 3^\frac{n}{n}\right)$

Intenté poner $\frac1n$ como una potencia del logaritmo y sacándolo del límite, así obtuve

$$ L = \log\lim\limits_{n \to \infty} \left(3^\frac{n}{1} + 3^\frac{n}{2} + \dots + 3^\frac{n}{n}\right)^\frac1n $$

En ese momento pensé en el hecho de que $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+\dots+a_k^n} = max\{a_1, a_2, \dots,a_k\}$ pero esto no servirá de nada aquí, supongo. ¿Cómo puedo calcular este límite, por favor?

Answer 1

Puede utilizar el Teorema de la compresión . Por ejemplo, en este caso se tiene

$$\log 3 =\frac{\log(3^n)}{n} \leq \frac{\log(3^n+3^{n/2}+\cdots+3^{n/n})}{n} \leq \frac{\log(n \cdot 3^n)}{n} = \frac{\log{n}}{n}+\log 3$$

Ahora no es difícil ver que ambas secuencias circundantes convergen a $\log 3$ , por lo que el límite del medio es $\log 3$ también.

Answer 2

Una pista. $$0<3^{\frac n 2}+\cdots+3^{\frac n n}\le(n-1)3^{\frac n 2}=\frac{3^n}{3^{\frac n 2}/(n-1)}$$

Answer 3

En primer lugar, la respuesta es log(3). Intuituamente, al igual que en el ejemplo que has mencionado, el término que más rápido crece en la suma es 3^n, por lo tanto, se pueden ignorar los otros términos y proceder simplificando (1/n log(3^n)) que da como resultado 3. Para tener una buena justificación para "ignorar" los otros términos, se puede escribir la suma como 3^n+3^(n/2)+...=3^n(1+3^(-n/2)+...) y luego escribir: log(3^n(1+3^(-n/2)+...)) =log(3^n)+log(1+3^(-n/2)+...)) el segundo término es efectivamente igual a log(1) que es cero. Por lo tanto se puede proceder calculando lim 1/nlog(3^n) que se resuelve trasladando la exponencial a antes del log.