¿Asumir $\gcd(a,b)=1$, cómo expresar $$F(s)=\sum_{n \equiv a \pmod b} \frac{\mu(n)}{n^s}$$ in the half plane where $\Re(s) > 1$ en cuanto a Dirichlet L-función?
Respuesta
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Recordar las relaciones de ortogonalidad entre los caracteres de dirichlet modulo $b$:
$$\frac{1}{\phi(b)} \sum_ {\chi\ \text{mod}\ b} \chi (n) = \left\ {\begin{array}{cc} 1 & \text{if }n\equiv1\text{ mod }b\ 0 & \text{otherwise} \end{array}\right}.$$
Por lo tanto nos podemos reescribir la función de indicador de la progresión aritmética $n\equiv a \text{ mod } b$ como
\sum_ $$\frac{1}{\phi(b)} {\chi\ \text{mod}\ b}\chi(n)\overline{\chi(a)} = \left\ {\begin{array}{cc} 1 & \text{if }n\equiv a\text{ mod }b\ 0 & \text{otherwise} \end{array}\right}.$$
Por lo tanto, su suma se convierte en
$$F(s)=\sum{n=1}^{\infty}\frac{\mu(n)}{n^{s}}\left(\frac{1}{\phi(b)}\sum{\chi\ \text{mod}\ b}\chi(n)\overline{\chi(a)}\right)$$
$$=\frac{1}{\phi(b)}\sum{\chi\ \text{mod}\ b}\overline{\chi(a)}\sum{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)\mu(n)}{n^{s}}$$
$$=\frac{1}{\phi(b)}\sum_{\chi\ \text{mod}\ b}\overline{\chi(a)}\frac{1}{L(s,\chi)}.$$
