Me podrias ayudar solucionar o darme algunos consejos sobre la siguiente ecuación diferencial
$$ 2(y') ^ 2 + 3xy'y '' + 3yy'' = 0 $
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fianchetto
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186
Sugerencia. Set $y=\mathrm{e}^z$ (o $y=-\mathrm{e}^z$), luego $y'=\mathrm{e}^zz'$, $y''=\mathrm{e}^z\big(z''+(z')^2\big)$ y $$ 0=2(y')^2 + 3xy y" + 3yy" = \mathrm{e}^{2z} \big(2(z')^2+3xz'(z"+(z')^2)+3(z"+(z')^2)\big) $$ o $$ 2(z')^2+3xz'(z"+(z')^2)+3(z"+(z')^2)=0. $$ Siguiente conjunto $w=z'$, y obtener para $w$ la ecuación $$ w'=-\frac{5w^2+3xw^3}{3xw+3} $$ o $$ \left(\frac{1}{w}\right)'=\frac{\frac{5}{w}+3x}{\frac{3}{w}+3x} $$ y establecimiento $u=1/w$ obtenemos $$ u'=\frac{5u+3x}{3u+3x}. $$
Nota. Esta es una técnica estándar para homogéneo de ecuaciones. Establecimiento $y=\mathrm{e}^z$ (o $y=-\mathrm{e}^z$) reduce a la orden por uno.
JohnDoe
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16
$\textbf{A possible solution}$
Una solución (por lo que puedo ver de todos modos) puede ser encontrado en forma de $y = bx^{\alpha}$ ( una simple ley de potencia), donde a través de la álgebra conduce a $$ x^{2\alpha-2}\left[\alpha^2 +3(\alpha+1)(\alpha-1)\alpha\right] = 0 $$ aquí hemos eliminado la b de la expresión, ya que se puede definir a 1 sin pérdida de generalidad. así pues, tenemos una ecuación cuadrática para resolver por $\alpha$ dar por $$ 3\alpha^2 + 2\alpha - 3 = 0. $$ por lo tanto, tenemos soluciones de la forma $$ y = x^{-\frac{1}{3}\left(1\mp\sqrt{10}\right)} $$ la adición de la constante de $b$ nuevo en la solución que podemos encontrar $$ y = bx^{-\frac{1}{3}\left(1\mp\sqrt{10}\right)} $$ también es una solución.
Sin más restricciones(y / o el dominio de la solución) en la educación a distancia, que estamos limitados en la realidad, la fijación de la solución y, de hecho, si una ley de potencia es aún apropiado para el OP pregunta.
$\textbf{Note:}$ Como se indica por @semiclásica a continuación, una no-lineal de la educación a distancia no permite que las combinaciones lineales de las soluciones, así que mientras que dos soluciones para $\alpha$ existen no podemos combinar como $$ y \neq a_1x^{\alpha_{+}} + a_2x^{\alpha_{-}} $$ para obtener otra solución.
