Encuentra si existe un elemento que sea suma de cuadrados

Question

Consideremos la secuencia : $\langle 3,7,11,15,\cdots\rangle$ . ¿Es posible que un elemento de esta secuencia sea la suma de dos cuadrados?

Mi enfoque:

Término general de la secuencia si $4n-1$ . Consideremos el homomorfismo canónico $\phi \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_4$ . Si $a^2+b^2=4n-1$ tiene una solución en $\mathbb{Z}$ entonces tiene una solución en $\mathbb{Z}_4$ . Es decir, $$a^2+b^2=(4n-1) \ \text{mod}\ 4=3 $$

Está claro que esto no tiene solución en $\mathbb{Z}_4$ y, por tanto, tampoco el original.

Lo que me gustaría saber es si hay algún otro método para resolver esta cuestión utilizando quizás otras áreas de las matemáticas.

Answer 1

¿Te parece bien la teoría algebraica de los números? El anillo de enteros gaussianos $\mathbb{Z}[i]$ es un dominio euclidiano, por tanto un dominio de factorización único. $n=a^2+b^2$ equivale a $n= z\cdot\overline{z}$ con $z=(a+ib)\in\mathbb{Z}[i]$ Por lo tanto, el problema de entender qué números enteros positivos pueden representarse como una suma de dos cuadrados se reduce a entender qué números primos enteros pueden representarse como una suma de dos cuadrados. La identidad de Lagrange $$(a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ad-bc)^2 + (ac+bd)^2 $$ es una consecuencia de $(a-ib)(c+id) = (ac+bd)+i(ad-bc)$ y concede que el conjunto de enteros que se pueden representar como una suma de dos cuadrados es un semigrupo.
Si $p\in\mathbb{Z}^+$ es un primo impar y $a^2+b^2=p$ tenemos que ambos $a$ y $b$ son elementos invertibles en $\mathbb{Z}/(p\mathbb{Z})$ y el cuadrado de $a^{-1} b$ es igual a $-1$ . En particular, si $p$ es un primo impar que se puede representar como una suma de dos cuadrados, $-1$ es un residuo cuadrático en $\mathbb{Z}/(p\mathbb{Z})^*$ . Por el símbolo de Legendre $$ 1 = \left(\frac{-1}{p}\right) \equiv (-1)^{\frac{p-1}{2}} \pmod{p}$$ conseguimos que $-1$ es un residuo cuadrático en $\mathbb{Z}/(p\mathbb{Z})^*$ si $\frac{p-1}{2}$ es par, es decir, si $p=4k+1$ .

Corolario1 . Todo primo de la forma $4k+1$ puede representarse como la suma de dos cuadrados y ningún primo de la forma $4k+3$ puede representarse como la suma de dos cuadrados.

Corolario2 . Dejemos que $n\in\mathbb{Z}^+$ y que $$ n = 2^{k} p_1^{\alpha_1}\cdots p_{l}^{\alpha_l}\cdot q_1^{\beta_1}\cdots q_m^{\beta_m} $$ sea la factorización de $n$ con $p_i\equiv 1\pmod{4}$ y $q_j\equiv 3\pmod{4}$ . $n$ puede representarse como una suma de dos cuadrados si $\beta_1\equiv \ldots\equiv \beta_m\equiv 0\pmod{2}$ .

Corolario3 . Todo entero positivo de la forma $4k+3$ tiene un divisor primo $p$ de la misma forma, tal que $\nu_p(n)$ es impar. En particular, ningún número entero positivo de la forma $4k+3$ puede representarse como la suma de dos cuadrados.

¿No es este el giro más épico de un argumento trivial que hayas visto nunca? :D