Demostrar que $X_n \to X$ en $L^1$ si y sólo si $E(X_n1_{A}) \to E(X1_{A})$ uniformemente en $A \in \mathcal{F}$

Question

Este es un ejercicio de probabilidad del libro de Karr llamado "Probabilidad".

Demostrar que $X_n \overset{L^1}{\rightarrow} X$ si y sólo si

$$\sup_{A \in \mathcal{F}} \left|E(X_n1_{A}) - E(X1_{A})\right|\rightarrow 0.$$

Donde, según la notación del libro, $X_n$ es una secuencia de rv's, $A$ es un evento y $\mathcal{F}$ el $\sigma$ -asociada a $X_n$ , mientras que $1_A$ denota la función indicadora sobre el conjunto $A$ .

Mi opinión es que como la convergencia en $L_1$ implica la integrabilidad uniforme, uno podría usar este hecho para proceder, pero estoy completamente atascado.

Answer 1

" $\Rightarrow$ ": Utilice

$$|\mathbb{E}(X_n 1_A)-\mathbb{E}(X 1_A)| \leq \mathbb{E}(|X_n-X|).$$

" $\Leftarrow$ ": Mostrar

$$\mathbb{E}(|X_n-X|) = \mathbb{E}[(X_n-X) 1_{\{X_n-X \geq 0\}})]+ \mathbb{E}[(X-X_n) 1_{\{X_n-X<0\}}],$$

y concluir que

$$\mathbb{E}(|X_n-X|) \leq 2 \sup_{A \in \mathcal{F}} |\mathbb{E}[(X_n-X) 1_A]|.$$