¿Por qué definir cuatro vectores para cantidades que transformar sólo como el vector posición se transforma?

Question

Un cuatro-vector está definido para ser un cuatro componente cantidad $A^\nu$, lo que se transforma en virtud de una transformación de Lorentz como $A^{\mu'} = L_\nu^{\mu'} A^\nu$ donde $L_\nu^{\mu'}$ es la transformación de Lorentz de la matriz, que incluso aumenta, las rotaciones y las composiciones. (En otras palabras, como las componentes de un vector de posición $(x0,x1,x2,x3)$transformaría).

La propiedad útil de los cuatro vectores se alega, que si dos cuatro-vector expresiones son iguales en un marco, entonces ellos serán iguales en todos los cuadros :

$A^\mu = B^\mu \Leftrightarrow A^{\mu'} = B^{\mu'}$

y por lo tanto podemos expresar las leyes de la física en términos de cuatro vectores, debido a que permanecen invariantes en todos los marcos.

Pero esta propiedad será cierto incluso para los cuatro componentes de las cantidades que transformar (a través de marcos de referencia) como $A^{\mu'} = T_\nu^{\mu'} A^\nu$ donde $T$ es cualquier matriz de transformación (no necesariamente una de Lorentz). En la medida que podamos encontrar una $T$, que se describe cómo la cantidad de componentes de transformación, podemos aplicar que T a ambos lados de la igualdad.

Entonces, ¿por qué necesita (es decir, definir) de cuatro vectores de ser sólo las cantidades que en virtud de transformar una matriz de Lorentz?

Answer 1

En última instancia, se puede hacer una totalmente legítimo; nos hemos muy bien podría haber definido el término "cuatro-vector" para referirse a un tipo de objeto que se transforma en una forma diferente, pero nosotros hacemos la particular definición de lo que hacemos porque es útil disponer de un término que se refiere a cosas que se transforman como el espacio-tiempo de las posiciones cuando el cambio de marco. Aquí por dos motivos:

Hecho 1. Dados cualesquiera dos de cuatro vectores $A^\mu$$B^\nu$, la cantidad de $g_{\mu\nu}A^\mu B^\nu$ es invariante bajo un cambio de marco.

Observe que esto no habría sido cierto a menos que $A^\mu$ $B^\nu$ fueron de cuatro vectores debido a que la prueba de este hecho se basa en la métrica que se conservan por la transformación de Lorentz, y no por otras cosas arbitrarias. Aquí es otra razón por la que la definición es útil

Hecho 2. Un montón de realmente útil y físicamente cantidades significativas de pasar a ser de cuatro vectores. Tomemos, por ejemplo, $J^\mu$ $A^\mu$ (el actual y el vector de potencial) en el electromagnetismo.

Habiendo dicho todo esto, sin embargo, tenga en cuenta que hay un montón de otras cantidades que no se transforma como cuatro vectores cuando uno cambia de marco. De hecho, dada cualquier representación $\rho$ del grupo de Lorentz, uno encuentra a menudo cantidades $Q$ que la transformación de la $$ Q' = \rho(\Lambda) Q $$ Por ejemplo, hay objetos llamados Weyl spinors que la transformación de la $$ \psi' = \rho_\mathrm{weyl}(\Lambda)\psi $$ cuando uno se transforma entre los fotogramas.

El resultado de todo esto es la siguiente

Resultado de todo esto. Lorentz 4-vectores no son especiales. Sin embargo, dado que cada cambio del marco de referencia pueden estar asociadas con la transformación de Lorentz, cada cantidad que desea transformar entre marcos necesariamente debe transformar en una forma de la que depende, de alguna manera u otra, de la transformación de Lorentz entre los marcos. Esto nos lleva a que no sólo definen cuatro vectores, pero una serie de otros objetos que se han especificado las leyes de transformación en virtud de los cambios de marco y darles nombres especiales. Hacer esto es muy útil porque tales objetos aparecen por todo el lugar en la física, y que nos puede resultar útil acerca de las propiedades de los objetos con cierta transformación de los comportamientos.

Answer 2

El motivo por el que estás haciendo esta pregunta es porque la definición de un vector o de un tensor general como "una cantidad que transforma una determinada manera" no es conceptualmente muy esclarecedor, pero a menudo se hace para evitar la introducción de algunas un poco formal de las matemáticas. Aquí hay una mejor manera de proceder:

Deje $M$ ser un colector (basta pensar en espacio de Minkowski como un simple ejemplo). Definimos un vector $v$ a un punto de $p\in M$ a ser lineal en el mapa que toma una función $f \in C^{\infty}(M)$ (todo liso real de las funciones con valores en $M$) para un número real $c\in \mathbb{R}$, que también obedece a la regla de Leibniz:

$$v(fg) = f(p)v(g) + g(p)v(f).$$

Ahora, para cada punto de $p \in M$, este conjunto forma un espacio vectorial, llamado el espacio de la tangente $T_p M$. Un "$n$-vector" (donde $n$ es la dimensión de nuestras múltiples), es simplemente un campo vectorial suave, yo.e para cada punto de $p\in M$, nos da un vector que viven en $T_pM$. Resulta que el conjunto de la derivada parcial operadores de $\{\partial_{\mu}\}$ válido para cualquier sistema de coordenadas $\{x^{\mu}\}$, constituye una base para nuestro espacio de la tangente, por lo que cualquier 4-vector se puede escribir como $$v = v^{\mu}\partial_{\mu},$$ where $v^{\mu}$ are real-valued functions. However, in another coordinate system we may also write this as $$v = v^{\mu'}\partial_{\mu'}.$$ Of course, these two vectors are equal: $$v^{\mu}\partial_{\mu} = v^{\mu'}\partial_{\mu'}.$$

De esto podemos ver que las nuevas coordenadas en términos de la edad, están dadas por

$$v^{\mu'} = \frac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\mu}}v^{\mu}.$$

Así que en general, para cualquier vector (campo), bajo un cambio de coordenadas, el cambio en los componentes está dada por la matriz de derivadas parciales. Para el caso especial de cambio de coordenadas por las transformaciones de Lorentz, la matriz de parciales son las correspondientes matrices de Lorentz aumenta (no muy diferente, ya que la transformación de Lorentz son lineales).

Por lo tanto, haciendo de esta definición se ve que su $T$ sólo está permitido al ser la matriz de derivadas parciales, que en su caso particular, pasa a ser $L^{\mu'}_{\mu}$, y no cualquier otro arbitraria de transformación.

Answer 3

Sólo transformaciones de Lorenz corresponden a la transformación geométrica que están asociados con la física rotaciones y cambio de velocidad, y se conectan los fotogramas en los que calcular los tiempos adecuados y leghts como $\sqrt{\text dt^2-\text d \vec x^2}$. La métrica de los componentes que intervienen en el cómputo de las $x^2=x_\mu x^\mu=\eta_{\mu\nu} x^\mu x^\nu$ son meramente factores $\pm 1$ si $x$ son los cooridnates en un marco inercial, o de cualquier marco que se obtiene a partir de ese marco a través de una transformación de Lorentz (que vamos a llamar nuevamente a marco inercial).

Nosotros no requerimos que usted sólo transforma ellos de una manera determinada en general, usted puede hacer cualquier transformación que desea. Si su gato camina a su lado con una cierta velocidad, y si usted quiere ver cómo el mundo se ve desde su punto de vista, tienes que hacer un impulso de transformación de sus coordenadas. Y Lorentz dado cuenta de que la transformación de Lorentz hacerlo con más exactitud que la de Galileo impulso. Eso no significa que usted no puede hacer una transformación de Galileo para describir el mundo desde otra perspectiva en la cual el valor actual del tiempo de coordenadas no coinciden con sus gatos percepción del tiempo actual (el error no volverá a ser grande).

Si usted sabe cómo los cambios de posición y hacer una transformación de una ecuación que involucra, entonces la transformación de la ley de otras cantidades geométricas, como la velocidad, la co-vectores que comer velocidades, o de cualquier formulario existente en el espacio cotangente (como el electromagnatic campo de fuerza tensor) son inducidos por la consistencia requiremt y la afirmación de que el principio de la relatividad deben tener.

Answer 4

dayareishq ha captado la idea básica es típicamente descrita en la geometría diferencial (y la relatividad general, como una aplicación de esa disciplina). Pero sería justo pensar en "vectores son derivadas parciales? eso no tiene sentido!" Porque no. Sin embargo, esta identificación es omnipresente en la geometría diferencial; es algo que tengo que acostumbrarme a...o encontrar una buena y sólida alternativa (que no existen).

La transformación de la ley para los vectores de la siguiente manera desde el dibujo de las curvas en el espacio-tiempo. Dada una curva $c(\lambda)$, la transformación de este en virtud de una arbitraria, suave, diferenciable de transformación de $f(x) = x'$ rendimientos $c'(\lambda) = (f \circ c)(\lambda)$. Entonces encuentra que $dc'/d\lambda = \underline f(dc/d\lambda)$ donde $\underline f$ es el Jacobiano. Esta es una aplicación de la regla de la cadena, y que es todo el contenido matemático de dayareishq la ecuación de $v^{\mu'} = v^\mu \partial x^{\mu'}/\partial x^\mu$. Lorentz aumenta y rotaciones sólo obedecer a la simple idea de que, como operadores lineales, que son iguales a sus propios Jacobians.

Answer 5

Como observado abajo, una fórmula general para las transformaciones de vectores, bajo transformaciones coordinadas, es $A^{\mu'} = \frac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\mu}}A^{\mu}.$

Y me funciona perfectamente bien en el caso especial de las transformaciones de Lorentz.

Pero las leyes de la física no sólo pueden ser expresadas en términos de vectores, se podrían utilizar también tensores, spinors, etcetera.

El punto es que usted debe ser igual a 2 cantidades que transforman de la misma manera, bajo transformaciones coordinadas.