¿Cómo se sustituye$-y$ por$y$ con$y \neq 0$ legal?

Question

Actualmente estoy pasando por el cálculo de Spivak y resolví el siguiente problema:

Pruebalo $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$.

Para probarlo, el autor quiere usar otro problema que se probó anteriormente, es decir,$x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$

La solución dice que simplemente reemplace$y$ con$-y$ en la ecuación anterior. Pero$y$ no puede ser igual a$-y$ mientras$y \neq 0$, entonces, ¿cómo es esta una operación legal?

Answer 1

El autor está diciendo: $y$ no es un número en particular, la ecuación se tiene para cada número real. Lo que funciona para$y=3$, pero también para $y = -3$ o $y = \pi$ o lo que sea.

Así que usted puede "sustituir" $-y$ en lugar de $y$ debido a que, incluso si los dos números son diferentes, la relación aún se mantiene

Otra forma de hacerlo sería: llame a $y = -z$. Mira el resultado que se obtiene.

Claramente ahora te encontrarás con una relación en $z$ e no $y$. Pero desde $z$ $y$ son sólo nombres, siempre puede llamar a $z = y$ para obtener el "correcto". Lo que hicimos fue, esencialmente, la sustitución de $y = -y$, pero tal vez ahora es un poco más claro

Answer 2

La hormiga respuesta es correcta, pero aquí es otra manera de decir la misma cosa, con un ejemplo ilustrativo.

Spivak de la operación es, en realidad, "legal", como usted dice, porque es sólo un ejemplo de lo que un lógico sería llamada la "ley de la sustitución".

Como otro ejemplo, es de suponer que usted sabe cómo la diferencia de los cuadrados de los factores:

$$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$$

Pero esta identidad se mantiene para todos los números reales $x$$y$; $x$ $y$ pueden representar cualquier número real que usted desea. Así que deberíamos pensar de esta ecuación como la taquigrafía para la infinidad de diferentes factorizations, cada dado por la sustitución de un valor diferente para $x$$y$. Por ejemplo, la sustitución de $x=a+b$ $y=c+d+e$ da la aparentemente más difícil resultado

$$(a+b)^2-(c+d+e)^2=(a+b-c-d-e)(a+b+c+d+e)$$

Pero en realidad esta ecuación de la siguiente manera a partir de la primera por el principio de sustitución. Esa es exactamente la clase de argumento Spivak está dando aquí.

Answer 3

Lo que sustituye a$y=-y$ significa esencialmente lo siguiente:

$x^3 + y^3$ =$x^3 -(-y)^3$

Por lo tanto,$x^3 + y^3$ =$(x - (-y))(x^2 + x(-y) + y^2)$

=$(x+y)(x^2 -xy +x^2)$

Bueno, es tan simple como eso. Básicamente, simplemente ingresas un número negativo arbitrario y obtienes este resultado. Espero que esto haya ayudado a explicar la intuición detrás de la sustitución.