Hay un error de cálculo en este que no he encontrado, pero la idea va a funcionar. Las principales herramientas que voy a utilizar constan de elementos de álgebra lineal y cálculo multivariable. Muchos de estos cálculos se pueden realizar de dos maneras y voy a recoger lo que más me gusta. Para la programación de situaciones, algunas de estas operaciones son menos estables que otros, así que puede que tenga que reemplazar algunos de estos pasos con otras opciones.
Vamos $v_1=(0,5,0)$, $v_2=(0,0,0)$, y $v_3=(8,0,0)$ ser los vértices del triángulo $O$. Vamos $w_1=(6,8,3)$, $w_2=(6,8,-2)$, y $w_3=(6,-4,-2)$ ser los vértices del triángulo $Y$.
Paso 1: comenzamos por la determinación de los planos que contienen estos triángulos. La normal al plano que contiene a $O$ está dado por
$$
(v_2-v_1)\times(v_3-v_1)=(0,5,0)\times(8,0,0)=(0,0,-40).
$$
Por lo tanto, el plano que contiene a $O$ es
$$
0(x-0)+0(y-0)-40(z-0)=0.
$$
En otras palabras, $z=0$.
La normal al plano que contiene a $Y$ está dado por
$$
(w_2-w_1)\times(w_3-w_1)=(0,0,-5)\times(0,-12,-5)=(-60,0,0).
$$
Por lo tanto, el plano que contiene a $Y$ es
$$
-60(x-6)+0(y-8)+0(z-3)=0.
$$
En otras palabras, $x=6$.
Paso 2: Ahora, vamos a determinar la línea de intersección de estos planos. La línea debe satisfacer $z=0$$x=6$, así como una matriz ampliada, tenemos
$$
\begin{bmatrix}
1&0&0&6\\0&0&1&0
\end{bmatrix}
$$
Esta matriz ya está en la reducción escalonada con $x=6$, $y$ una variable libre, y $z=0$. Por lo tanto, la línea de intersección es $(6,t,0)$.
El cómputo de la rref no siempre es numéricamente estable de operación, por lo que es posible que desee reemplazar este paso con tomar el producto vectorial de los vectores normales de los planos para obtener la dirección de la línea de intersección, y encontrar un buen punto en la línea de intersección.
Paso 3: Encontrar la intersección de la línea y el triángulo $O$. La línea que contiene a $v_1$ $v_2$ dirección $v_2-v_1=(0,5,0)$ y pasa a través del punto de $(0,0,0)$, por lo que su fórmula es
$$
(0+0,0+5s,0+0)=(0,5 s,0).
$$
(He cambiado las variables debido a que ya he utilizado $t$ en la fórmula anterior). Los otros lados del triángulo está dada por las líneas
$$
(0+8s,0+0,0+0)=(8,0,0)
$$
y
$$
(8-8,5s,0)=(8-8,5,0).
$$
(Tenga cuidado acerca de la configuración, usted realmente quiere escribir $sv_1+(1-s)v_2$, de modo que cuando se $s=0$, se obtiene uno de los extremos y al $s=1$, se obtiene el otro extremo.)
Para encontrar los puntos de intersección, se debe resolver tres sistemas de ecuaciones. La primera es para cruzar la línea de intersección con el primer lado del triángulo. El primer sistema de ecuaciones es
$$
6=0\qquad t=5s\qquad 0=0
$$
La forma de la matriz es
$$
\begin{bmatrix}
0&0&6\\
1&-5&0\\
0&0&0
\end{bmatrix}
$$
Este sistema no tiene solución, así que no hay punto de intersección.
El segundo sistema es
$$
6=8\qquad t=0\qquad 0=0
$$
La forma de la matriz es
$$
\begin{bmatrix}
0&8&6\\
1&0&0\\
0&0&0
\end{bmatrix}
$$
La solución a este sistema es$t=0$$s=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$. Puesto que el $s$-valor es entre el$0$$1$, este punto se encuentra en el lado del triángulo. Este punto es $(6,0,0)$.
El tercer sistema es
$$
6=8-8\qquad t=5s\qquad 0=0
$$
La matriz correspondiente es
$$
\begin{bmatrix}
0&8&2\\
1&5&0\\
0&0&0\\
\end{bmatrix}
$$
Este sistema tiene una solución, $s=\frac{1}{4}$$t=\frac{5}{4}$. Por lo tanto, el punto de intersección es $(6,\frac{5}{4},0)$.
Por lo tanto, el segmento en el primer triángulo entre el$(6,0,0)$$(6,\frac{5}{4},0)$. Esto es entre $t=0$$t=\frac{5}{4}$.
Para el triángulo $Y$, no voy a mostrar todo el trabajo, pero le dan las luces. Las líneas de los lados de los triángulos están dadas por $(6,8,3-5s)$, $(6,8-12s,3-5s)$, y $(6,8-12s,-2)$.
La primera línea se cruza en el $t=8$$s=\frac{3}{5}$, que corresponde al punto de $(6,8,0)$. La segunda línea se cruza en el $t=\frac{4}{5}$$s=\frac{3}{5}$, que corresponde al punto de $(6,\frac{4}{5},0)$. La tercera línea no se intersectan las intersecciones de los planos.
Ahora, el primer triángulo se cruza la línea de interés entre el$t=0$$t=\frac{5}{4}$, mientras que el segundo triángulo cruza entre el$t=\frac{4}{5}$$t=8$. Intersección de estos dos segmentos da la intersección entre el $t=\frac{4}{5}$ $t=\frac{5}{4}$ (esto no es correcto, voy a buscar el error).
