Estoy tratando de evaluar la siguiente integral:
$$A(a)=\int\nolimits_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2/2}\log\left(\int_{x-a}^{x+a}e^{-t^2/2}dt\right)dx$$
Voy a estar satisfecho con un razonable límite inferior. He probado el Valor medio Teorema de límite en el interior de la integral de la siguiente manera:
$$\begin{align} A(a)&=\int_{-\infty}^{0}e^{-x^2/2}\log\left(\int_{x-a}^{x+a}e^{-t^2/2}dt\right)dx+\int_{0}^{\infty}e^{-x^2/2}\log\left(\int_{x-a}^{x+a}e^{-t^2/2}dt\right)dx\\ &=\int_{-\infty}^{0}e^{-x^2/2}\log\left(2ae^{-y_0^2/2}\right)dx+\int_{0}^{\infty}e^{-x^2/2}\log\left(2ae^{-y_1^2/2}\right)dx\\ &~~~~~~~~\text{where }y_0,y_1\in[x-a,x+a]\text{ in respective integrals by MVT}\\ &\geq \sqrt{2\pi}\log(2a)+\int_{-\infty}^{0}e^{-x^2/2}\log\left(e^{-(x-a)^2/2}\right)dx+\int_{0}^{\infty}e^{-x^2/2}\log\left(e^{-(x+a)^2/2}\right)dx\\ \end{align} $$
desde $y_0=x-a$ $y_1=x+a$ alcanzar el valor mínimo de la función correspondiente en $[x-a,x+a]$.
Este límite inferior tiene una gran boca de la resultante en dos fáciles de evaluar las integrales. Sin embargo, me pregunto si hay otros límites inferiores que son más estrictas y el resultado en analíticamente solucionable exterior integral.
