Matriz de bloques invertible

Question

¿Podría encontrar $A_1,A_2,A_3,A_4 \in M_n(\mathbb C)$ , tal que, para todo $z_1,z_2,z_3,z_4\in \mathbb C$ , $\det(z_1A_1+z_2A_2+z_3A_3+z_4A_4)=0$ y $\det \begin{pmatrix} A_1&A_2\\A_3&A_4\end{pmatrix}\neq 0$ ?

Si es así, ¿podría extenderse este resultado a $m^2$ matrices $A_1,\ldots,A_{m^2} \in M_n(\mathbb C)$ ?

Answer 1

No, esas matrices no existen. Ya para $n=1$ donde las matrices se sustituyen por números complejos, el hecho de que $\operatorname{det}\left(\sum_i z_i A_i\right)=0$ debería ser válida para cualquier $z_{1\ldots 4}\in \mathbb{C}$ implica que todos los $A_i=0$ (por ejemplo $z_1=1,z_2=z_3=z_4=0$ ).

Aumentar $n$ no ayuda. En efecto, el determinante cero de la matriz lápiz de $A_{1\ldots 4}$ significa que los espacios nulos de $A_i$ tienen una intersección no trivial $^{\sharp}$ . Producto tensorial de cualquier vector de este núcleo común con cualquier vector no nulo de $\mathbb{C}^2$ da un elemento no trivial del núcleo de $\left(\begin{array}{cc} A_1 & A_2 \\ A_3 & A_4\end{array}\right)$ .

$^{\sharp}$ Editar : mostrar esto primero para un par de matrices $A,B$ tal que $\operatorname{det}(A+\lambda B)=0$ para cualquier $\lambda\in \mathbb{C}$ (utilizando que la desaparición del determinante es equivalente a la dependencia lineal de las columnas de $A+\lambda B$ ).