$C^\infty$ funciones con todos los derivados en $L^p$

Question

Que $1\le p

Mi respuesta parcial $p=1$:

$p=1$ Y $t\in \mathbb{R}$, tenemos $$ | g (t) | = | \int{0}^{t} g'(x) \ dx+g(0) | \le \int{0}^{t} | g'(x) | \ dx + | g(0) | \le |g'|{L^1} + | g(0) |. $$ Por lo tanto, $g\in L^\infty(\mathbb{R})$ $|g|{L^\infty} \le |g'|_{L^1}+|g(0)|$.

Gracias por la ayuda y Consejo.

Answer 1

Que $f'\in L^1(\mathbb R)$ implica ya que el $f \in L^\infty$. Para ver esto, en primer lugar hemos de observar que $$\lim_{x\to\infty} f(x) = 0.$$ De hecho, como lo hizo, $$f(x) - f(y) = \int_x^y f'(s) ds\Rightarrow |f(x) - f(y)| \le \int_x^y |f'(s)|ds \to 0$$ como $x, y\to \infty$ (esto es, en donde utilizamos $f' \in L^1$). Por lo tanto $\lim_{x\to \infty} f(x)$ existe y debe ser cero, ya $f\in L^1$. Entonces

$$f(x) = \int_\infty^x f'(s)ds\Rightarrow |f(x)| \le \|f'\|_{L^1}.$$

Al $p>1$, podemos considerar $g = f^p$. A continuación, $g' = pf^{p-1} f'$ y así por el Titular de la desigualdad

$$\begin{split} \int |g'| &= p \int |f^{p-1} f'| \\ & \le p \left(\int |f^{p-1}|^{\frac{p}{p-1}}\right)^{1-1/p} \left(\int |f'|^p\right)^{1/p}\\ &= p \| f\|_{L^p}^{p-1} \| f'\|_{L^p} \end{split}$$

Por lo tanto $g$ satisface $g,g' \in L^1$ $g\in L^\infty$ por el primer argumento. Por lo tanto $f\in L^\infty$.

La generalización en $\mathbb R^n$ es el general de Sobolev de incrustación, lo que demuestra que su $f$ ha pointwise límites en todos los derivados $$ \sup_{x\in \mathbb R^n} |D_I f(x)| \le C(I,f) <\infty.$$

Answer 2

Si $f\in C^1$ y $f' \in L^1,$ luego

$$|f(x)-f(0)| = |\int_0^x f'| \le |f'|_1,$$

dando el $|f|_\infty \le |f(0)| + |f'|_1.$

Supongamos que $p>1.$ si $f\in C^1,$ $|f|^p$ es la composición de $|x|^p \in C^1$ $f;$ por lo tanto, $|f|^p\in C^1.$ compruebe que tiene la fórmula $(|f|^p)'(x) = p|f|^{p-1}f'(x)\text { sgn }(f(x))$. Si suponemos ahora que $f, f'\in L^p,$ entonces sabe $|f|^{p-1}f' \in L^1$ como en la respuesta de John Ma. Por el primer párrafo, tenemos $|f|^p,$ y $f,$ $L^\infty.$