Kernel de$f\mapsto f + \int f$

Question

Tengo el siguiente operador lineal

ps

Quiero probar que ese$$O: C[0,1] \to C[0,1], \ \ \ Of(x) = f(x) + \int_{0}^{x} f(s)\, ds,\ x \in [0,1].$. Traté de hacer coincidir la función a cero.

La solución de la ecuación diferencial puede ser$\ker(O)=\{0\}$ $

¿Alguien puede ayudar aquí o dar una pista?

Answer 1

No hay necesidad de ningún tipo de ecuación diferencial de lujo.

Supongamos que$Of=0$, luego$f(x) = - \int_0^x f(t) dt$ y entonces$|f(x)| \le x \|f\|$. Usando la igualdad nuevamente obtenemos$|f(x)| \le \int_0^x t \|f\| dt = {x^2 \over 2} \|f\|$ que da$\|f\| \le {1 \over 2} \|f\|$ y por lo tanto$f=0$.

Answer 2

Deje$f \in C[0,1]$ con$Of = 0$. Entonces \begin{equation} f(x) + \int_0^x f(s) \text{ }ds = 0 \Leftrightarrow f(x) = - \int_0^x f(s) \text{ }ds \end {equation} para todos$x \in [0,1]$. Si no lo ve ahora, puede diferenciar y obtener$f' = -f$ que lleva a la solución única$f(x) = f(0)e^{-x}, x \in [0,1].$ Desde$0 = (Of)(0) = f(0)$, podemos concluir$f(x) = 0$ para todos$x \in [0,1]$.