1) Para todos los enteros positivos primos relativos $a$ $m$ no es un número primo en la progresión aritmética $a$, $a+m$, $a+2m$, $a+3m,\dots$
Por supuesto, el general es el teorema de que existen infinitos números primos en cada uno de esos progresión, pero la forma en que me lo dijo por la cuantificación sobre todas las $a$ $m$ es equivalente a la versión general; para los principiantes, creo que la existencia de un único primer en una progresión $a$ $m$ a variar es más fácil de comprender. De hecho, debido a este caso especial implica el caso general es bastante inconcebible para mí cómo esto puede ser demostrado por inducción.
El caso especial $a = 1$ puede ser probado de una manera más sencilla, utilizando el $m$-th cyclotomic polinomio, por lo que tiene un teorema con un solo parámetro en ella, y nunca he visto una prueba de que la versión por inducción.
2) Por $n \geq 2$, las sumas parciales $H_n = 1 + 1/2 + 1/3 + \cdots + 1/n$ no son enteros.
Las pruebas a las que conozco se basan en el estudio de la potencia más alta de $2$ menos que o igual a $n$ más que cualquier tipo de inducción directa en $n$. Si $H_n$ no es un número entero de cómo puede un hecho crudo ayudarle a mostrar $H_{n+1}$ no es un número entero? El uso de la inducción se estaría tratando de mostrar un "no-propiedad" persiste de $n$ $n+1$(o de todos los números enteros de $2$ $n$a $n+1$). Si alguien dice que la prueba es por inducción sobre el mayor poder de $2$ menos que o igual a$n$, a continuación, me gustaría señalar que la prueba no uso nada acerca de $n$ para obtener el resultado de $n+1$.
3) Un parcial de ejemplo: para $n \geq 2$, el número de $\sqrt[n]{2}$ es irracional.
Considero que esto es parcial porque, mientras que la declaración directa no es fácilmente accesible para la inducción (los números de $\sqrt[n]{2}$ $\sqrt[n+1]{2}$ son linealmente disjuntos $\mathbf Q$, por lo que es difícil imaginar cómo, para un principiante, la irracionalidad de la $\sqrt[n]{2}$ podría ayudar a demostrar la irracionalidad de $\sqrt[n+1]{2}$), podría ser visto como una consecuencia de la más general resultado de que si un prime -- o solo a la primer a $2$ -- divide a un producto de $n$ enteros, entonces debe dividir uno de ellos, y que se puede demostrar por inducción.
4) Considerar la posibilidad de darle a la clase algunos problemas sin resolver acerca de los números enteros, por ejemplo, para cada $n \geq 2$ la serie infinita $1 + 1/2^n + 1/3^n + 1/4^n + \dots$ es irracional. Se ha demostrado incluso para $n$$n = 3$, pero que no están fundados para $n = 5$.
5) Bertrand postulado: para cada entero $n \geq 1$ no es un número primo $p$$n \leq p \leq 2n$. (Yo uso $\leq$ en lugar de $<$ por lo que el resultado es cierto todo el camino hacia abajo a $n = 1$.)
De manera más general, muchos de los teoremas acerca de la ubicación de los números primos no son accesibles para las pruebas por inducción (hasta el momento) ya que primalidad no es realmente una condición que respeta el paso de $n$$n+1$.
6) de Lagrange de cuatro cuadrados teorema: todo entero $n \geq 1$ es una suma de cuatro cuadrados perfectos.
Que es demostrado por primera vez para los números primos (el uso de métodos especiales para la explotación de primalidad de $n$) y, a continuación, concluyendo que, en general, por descomposición en factores primos y de Euler de cuatro cuadrados de identidad. Se podría decir que esto se prueba por inducción sobre el número de factores primos de a $n$, pero para un principiante es definitivamente defendible a decir que esto no puede ser demostrado, como lo que podemos decir por el razonamiento de$n$$n+1$. Nadie sabe cómo convertir una representación de $n$ como suma de cuatro cuadrados en una representación de $n+1$ como suma de cuatro cuadrados.
