Que $X$ ser un espacio de producto interior verdadero o complejo, y que $f : X\rightarrow X$ es una función tal que cada elemento de $f(X)$ es ortogonal a cada elemento de $(I-f)(X)$. Probar o dar un contraejemplo para la afirmación de que $f=P$ $P$ Dónde está lineal, proyección ortogonal, es decir, $$ P ^ {2} = P, \; \; (Px, y) = (x, Py), \; \; x, y \in X. $$
Respuesta
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Deje $Y:={\rm span\,}f(X)$, el subespacio generado por el rango de $f$. Si $Y=\{0\}$, estamos listos.
Ahora, para cualquier $x\in X,\ z\in f(X)$,$\langle z,\ x-f(x)\rangle=0$, es decir,$\langle z,x\rangle=\langle z,\,f(x)\rangle$.
De ello se desprende que para todos los $z\in f(X)$,
$$ \langle z,\,f(x_1)\rangle+\langle z,f(x_2)\rangle\ =\
\langle z,\,x_1,\rangle + \langle z,\,x_2\rangle\ =\
\langle z,\,x_1+x_2\rangle\ =\ \langle z,\,f(x_1+x_2)\rangle\,,$$
de modo que los vectores $f(x_1+x_2)\,-\,f(x_1)-f(x_2)$ son ortogonales a todos los $f(X)$, por lo tanto $\in Y^\perp$.
Del mismo modo para cualquier $x$, $\ f(\lambda x)-\lambda\, f(x)\ \in Y^\perp$.
Pero, observar también que, por definición de margen, todos estos vectores son también en $Y$.
En consecuencia, $f$ debe ser lineal.
