$\ell_{p}$ el espacio no es Hilbert para cualquier norma si $p\neq 2$

Question

Mi pregunta es motivado por este: $\ell_p$ es el espacio de Hilbert si y sólo si $p=2$

Tal vez es una cosa simple o im confundido pero, supongamos que tenemos alguna norma en $\ell_{p}$$p\neq 2$. Cómo mostrar que esta norma no proviene de un producto interior?

Gracias

Lo siento si no me post el problema con claridad.

Edit: $\ell_{p}=\{(x_{1},x_{2},...\}:(\sum_{i=1}^{\infty}|x_{i}|^{p})^{\frac{1}{p}}<\infty\}$

Así que esa es mi espacio y es un espacio vectorial. Supongamos que definir en este espacio una norma (de cualquier norma). ¿Cómo puedo demostrar que esta norma no proviene de un producto interior si $p\neq 2$?

Answer 1

Creo que se puede convertir cualquier separable espacio de Banach $(X,\Vert\cdot\Vert)$ en el espacio de Hilbert. Es conocido$^1$ que cada Banach separable espacio lineal base de cardinalidad $\mathfrak{c}$. Por lo tanto, no existen bijective lineal operador $T:X \to\ell_2$. Dado este operador podemos definir la nueva norma en $X$ por la igualdad $$ \Vert x\Vert_\bala=\Vert T(x)\Vert_{\ell_2} $$ Es fácil ejercicio para comprobar que $(X,\Vert\cdot\Vert_\bullet)$ es un espacio de Hilbert.

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$^1$Lacey, H. (1973). La Hamel dimensión de cualquier infinito-dimensional de Banach separable espacio es c, Amer. De matemáticas. Mensuales, 80, 298

Answer 2

Creo que hay una pequeña pregunta en el post original. Que se supone que tenemos una $\ell_p(\mathbb{N})$ espacio con la norma ya definida como $\Vert \{x_k\} \Vert_p = (\sum_{k=1}^{\infty}|x_k|^p)^{1/p} $ donde $p \neq 2$. ¿Cómo podemos demostrar que esta norma no proviene de un producto interior?

Podemos comprobar si esta norma satisface la ley del paralelogramo: $$ \Vert v+w\Vert^2 + \Vert v-w\Vert^2 = 2(\Vert v \Vert^2 + \Vert w \Vert^2) $$

Si no, entonces, de acuerdo con el teorema 4.1.4 en Funciones, Espacios y Expansiones - Christensen, Ole, esta norma no podía provenir de un producto interior. Si se satisface la ley del paralelogramo, a continuación, también podemos recuperar esta oculto interior del producto por la polarización de la identidad que hay en el mismo teorema. La respuesta sin embargo no es, por lo que el $\Vert . \Vert_p$ norma mencionada no vienen de un producto interior.

Y la prueba también se aplican para una normativa distinta a la mencionada.