¿Cómo puedo demostrar que la traza de una matriz elevada a su $k$-ésima potencia es igual a la suma de sus eigenvalores elevados a la $k$-ésima potencia?

Question

Sea $A$ una matriz $n \times n$ con valores propios $\lambda_{1},...\lambda_{n}$. ¿Cómo puedo demostrar que tr$(A^k) = \sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}^{k}$?

Answer 1

1. $tr(A)=\sum \lambda_i$
2. Si $\lambda_i$ es un autovalor de $A$, entonces $\lambda_i^k$ es un autovalor de $A^k$. Esta transformación conserva las multiplicidades.

El primero es un resultado clásico, fácilmente deducido del polinomio característico. El segundo es un poco más complicado (si hay autovalores repetidos).

Answer 2

La suma de las raíces de un polinomio se da por $-\frac{b}{a}$, si el polinomio se ve como $a\lambda^N+b\lambda^{N-1}+\dots$. Ahora, los autovalores son raíces del polinomio $\det(A-\lambda I)$. Intenta demostrar que $-\frac{b}{a}$ en este caso es $\mathrm{traza}(A)$. Observa que $A^kv=A^{k-1}(Av)=A^{k-1}(\lambda_i v)=\lambda_i^k v$ (donde $\lambda$ es un autovalor). Así que $\lambda_i^k$ son autovalores de $A^k$. Por lo tanto, $\lambda_i^k$ son raíces del polinomio $\det (A^k-\lambda I)$. Por lo tanto, su suma debería ser igual a $\mathrm{traza}(A^k)$.

Answer 3

La traza es invariante a la similitud. Suponiendo que la multiplicidad de cada eigenvalor sea 1. Sea $A^k = U^{-1}\Sigma^k U,$ donde la matriz $U$ está compuesta por los eigenvectores de $A$ y $\Sigma$ es la matriz diagonal con los eigenvalores de $A$. Entonces tenemos: $$\mathrm{tr}(A^k) = \mathrm{tr}(U^{-1}\Sigma^k U) = \mathrm{tr}(U^{-1}(\Sigma^k U)) = \mathrm{tr}((\Sigma^k U)U^{-1}) = \mathrm{tr}(\Sigma^k (U U^{-1})) = \mathrm{tr}(\Sigma^k I) = \mathrm{tr}(\Sigma^k).$$

Por lo tanto, como $\Sigma = \left(\lambda_i \mathbb{1}_{\{i=j\}} \;;\; (i,j) \in [0,n]^2\right) $, tenemos que $\Sigma^k = \left(\lambda_j^k \mathbb{1}_{\{i=j\}} \;;\; (i,j) \in , [0,n]^2\right) $ y, por lo tanto, $$\mathrm{tr}(\Sigma^k) = \sum_{i=1}^n \lambda_i^k$$

Además, este argumento puede extenderse fácilmente a cualquier matriz A n-por-n utilizando la forma de Jordan como en wiki