Límites mediante la definición de épsilon delta $f(x,y)=xy$ para funciones de dos variables

Question

Demostrar: usando $\epsilon$ - $\delta$ definición, el límite de ambos $f$ y $g$ como $(x,y)\to (0,0)$ es $0$ .

1. $f(x,y)=xy$

2. $g(x,y)=\frac{xy}{x^2 +y^2+1}$

Además, para la Q2 puedo convertir $g(x,y)$ a $m(x,y)/n(x,y)=g(x,y)$ utilizando la aritmética de los límites, y luego demostrar mediante $\epsilon$ - $\delta$ definición el límite de la función $m$ y $n$ por separado; ¿luego se combinan los dos?

Gracias :)

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Me pregunto si esto es correcto: $|xy-0|<\epsilon$ dado $|x-0|< \delta $ y $|y-0|< \delta $

$|xy-0|< |x-0||y-0|<\delta^2=\epsilon$

por lo tanto: $\delta<\epsilon^{1/2}$

Answer 1

1. En primer lugar, observe que $$ |x|=\sqrt{x^2}\le \sqrt{x^2+y^2}=\|(x,y)\|_2,\ |y|=\sqrt{y^2}\le \sqrt{x^2+y^2}=\|(x,y)\|_2 \quad \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2. $$ Dado $\varepsilon>0$ , dejemos que $\delta=\sqrt{\varepsilon}$ . Tenemos $$ \|(x,y)\|_2\le \delta \Longrightarrow |f(x,y)|=|x||y|\le \|(x,y)\|_2^2 \le \delta^2=\varepsilon $$
2. Observe que $$ |g(x,y)|=\frac{|f(x,y)|}{x^2+y^2+1}\le |f(x,y)| \quad \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2 $$ y utilizar el 1.