Una peculiar familia de conjuntos

Question

Esto es realmente haciendo campaña en mí.
Estoy reescribiendo el problema por lo que no sólo estoy pidiendo ayuda con la tarea, pero yo estaba estudiando para una prueba en la lógica y en este problema se acercó:

Definir una familia indizada de conjuntos de $\{A_i\}_{i\in\mathbb{N}}$ donde $A_i\subseteq\mathbb{N}$ todos los $i\in\mathbb{N}$ que satisface las siguientes propiedades:
1. Cada número natural se encuentra en al menos uno de los conjuntos -> $(\forall n\in\mathbb{N})(\exists i \in \mathbb{N})(n\in A_i)$
2. Ninguno de los conjuntos son iguales a $\mathbb{N}$ -> $(\forall i\in\mathbb{N})(\exists n\in\mathbb{N})(n\not\in A_i)$
3. Ninguno de los conjuntos tienen un límite superior -> $(\forall i \in \mathbb{N})(\forall m \in \mathbb{N})(\exists n\in\mathbb{N})(n > m \wedge n\in A_i)$
4. Uno de los conjuntos es un subconjunto estricto de cada uno -> $(\exists j\in\mathbb{N})(\forall i\in\mathbb{N})(i\neq j \rightarrow A_j\subsetneq A_i)$

He estado trabajando en esto durante una buena media hora. ¿Alguien sabe de un juego que se ajuste a esos criterios?

Answer 1

Idea: $A_1$ el conjunto de todos los números primos (que es ilimitado). Toma $A_2$ la unión de $A_1$ y el conjunto de todos los números primos veces $2$. Toma $A_3$ a ser la unión de $A_1$ y el conjunto de todos los números primos veces $3$. Y así sucesivamente para $A_k$.

Por el primer descomposición, cada número natural $n$ $A_{n/p}$ para algunos prime $p$. Obviamente por la construcción, $A_1$ es un subconjunto de cualquier $A_k$$k\ne 1$. Desde $A_1$ es ilimitado, por lo que son las $A_k$'s. Y no hay ningún conjunto son iguales a $\mathbb N$. Considere la posibilidad de $A_k$ y considerar la posibilidad de un primer $p > k$. A continuación,$p^2 \cdot k \not \in A_k$.